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項④4. 基本132
中部大,関西大)
+3x+x)
して,まずい
分母・分子を
ることに注意。
のもよい。
3x²
√√x
1
√3x
・分子に
-1 を掛け
-
で割る。
基本例題 134 関数の極限 ( 4 )
はさみうちの原理
次の極限値を求めよ。 ただし, [x]はxを超えない最大の整数を表す。
[3x]
xC
(1) lim
x-x
指針 極限が直接求めにくい場合は, はさみうちの原理 (p.218⑤2) の利用を考える。
n≦x<n+1 (nは整数)のとき [x] = n すなわち [x] ≦x<[x]+1
よって [3x]≧3x<[3x] +1
この式を利用してf(x)≦
[3x]
≦g(x)
x
(ただしlim f(x)=limg(x)) となるf(x), g(x) を作り出す。なお,記号[]はガウ
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
解答
(1) 不等式 [3x]≧3x<[3x]+1が成り立つ。x>0 のとき,各辺
[3x]
[3x] 1
≤ 3<
+
ここで,
x
x
をxで割ると
Arde
ス記号という。
(2)が最大の項でくくり出すと (359(12/12/2)+1}*
+]
(1/2)" の極限と{(1/3) +1123 の極限を同時に考えていくのは複雑である。そこで、はさ
3< [3x] + 1/ #
x
x
練習
134
[x]+1から3-
って
みうちの原理を利用する。 x →∞であるから,x>1 すなわち0< − <1 と考えてよい。
x
I im(3-1)=3であるから
X
このとき
すなわち
1
(2) lim (3*+5)*
X-8
<
[3x]
x
tom{(1/2)+1)}=1であるから
lim²
lim
x→∞ x
[3x]
+²=(()*+1}}={(²)+)²
=!
x→∞であるから,x>10<<1と考えてよい。
XC
{( ²³ )* + 1}° <{( ³ ) * +1} * <{( ³ ) * +¹} *--- (*)
3-
3
1<{(1/2)+1/
1¹ < { ( 3³ )* + 1} * < ( ²³ )* + 1
(1/28)
lim
=3
1 [3x]
<
x
+1 =1
p.218 基本事項 5. 基本 105
≤3
5
lim(3* + 5*) * = lim 5{( 3 )*+1} * = 5+1=5
x→∞
X→∞
はさみうちの原理
f(x)=(x)=g(x) で
limf(x)=limg(x)=α
→∞
次の極限値を求めよ。ただし[] はガウス記号を表す。
0 [20]
1/²)² + ( ³ ) ²7 ²
x-00
ならば limh(x)=α
∞
底が最大の項5*でくくり
出す｡
225
<A> 1 のとき, a <bならば
A°<A° である。
(23) +1>
(*)が成り立つ。
+1>1であるから、
Op.231 EX100
4章
16
関数の極限
