基本 例 71 独立・従属の判定
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1個のさいころを2回続けて投げるとき,出る目の数を順に m,nとする。
<3である事象を A, 積 mn が奇数である事象をB, |m-n|<5である事象を
Cとするとき, AとB, AとCはそれぞれ独立か従属かを調べよ。
p.520 基本事項
指針 事象が独立か従属かの判定には,次の関係式のうち確かめやすいものを利用する。
(定義)
事象AとBが独立⇔P(B)=P(B) P(A)=P(A)
⇔P(A∩B)=P(A)P(B)
(乗法定理)
ここでは, 乗法定理が成り立つかどうかを確認する方法で調べてみよう。
(AC) Cについて, m-n<5を満たす組 (m,n) の総数は多いので、余事象で
を考えてみる。
AとCが独立AとCが独立であることに注目して,AとCが独立か従属
かを調べる。
(AとB) A∩Bは、
(AB) P(A)=1/2/28-1/13
(m, n) = (1,1), (1,3),
解答
また,積mn が奇数となるのは,m, nがともに奇数の (1,5) となる事象である
3×3 1
から
ときであるから P(B)=
62
4
P(A∩B)
P(B)=
よって P(A)P(B)=1/12
P(A)
3626
また,m<3かつ積n が奇数となるには,
一方,P(B)=-
-- であるか
(m, n)=(1,1) (1,3) (15) の3通りがあるから
ら
P(B)=P(B)
よって, AとBは独立。
ゆえに
3
P(ANB)=-11
62 12
P(A∩B)=P(A)P(B)
よって, AとBは独立である。
(AC) 余事象は|m-n≧5 となる事象, すなわち
(m,n) = (1,6), (61) となる事象である。
Cの根元事象の個数は 2
個。
2 1
よってP(C)=
62 18
また
# P(ANC)==136
62
Anではm<3 かつ
1
ゆえに、P(A)P(T)=
1 1
F
=
3 18 54
であるから
m-n≧5となる事象
で、そのような(m,n)
P(ANC) ≠P(A)P(C)
よって, ACは従属であるから,AとCは従属であ
る。
は (m,n)=(1,6)
