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数学 高校生

解答と違う求め方をしてるのですが私の答案でも○ですか? アドバイス貰えると嬉しいです🙇‍♀️

証明せよ。 0 o fodo (1) a2 6, xNyのとき 2(ax + by)2 (a+b)(x+y) 6+d d b d を満たすとき 正の数 a, 6, c, dが b a+c C a a C 目標の言い換え 不等式 A2B を証明 → A-B20 を示す A-B=…= ( 条件式から各( ) の正負を考える。 0=() A-B=.. = (2)式を分ける はおC > Action》条件つきの不等式の証明は,(左辺)- (右辺)の各因数の符号を調べ。 の A<B<Cを証明するために、「A<Bかつ B< C」を証明する。 (左辺)-(右辺)を因数分 解する。 解(1)(左辺)- (右辺) %3D 2(ax +by)- (a+b)(x+y) ax + by-ay-bx (説) =a(x→y)-6(x=y) 」さうさく )は1= キ %3 (a-6)(x-) ミっここで,aこ6より a-bN0, x>y より x-y>0 条件より各因数の符号右 調べる。 であるからE 0… 0-1- (左辺)-(右辺) = (α-b)(x-y)20rd-o-d 004等号が成り立つのは a-b=0 または x-y= すなわち, a=b また x=y のときである。 A<B<C を証明する をしたがって T 6+d 2(ax+ by) 2 (a+6)(x+y) a(6+d)-6(a+c) (a+c)a ad-bc ode a+c (a+c)a の a d(a+c)-c(b+d) c(a+c) ここで、a>0, c>0 であり d 6+d ad- bc atc c(a+c) C めに a+c>0 A<B かつ B<C d く C アを証明する。 (A<C を証明すると はない。) 6 また, の両辺に正の数 acを掛けると 6bc< ad a よって ad - bc>0 ゆえに, ad - bc ad- bc (a+c)a c(a+c) >0 であるから 6+d b atc d b+d >0 a+c a C したがって b b+d d a+c a C 練習64 エ 思考のプロセス|

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数学 高校生

数3 二次曲線 オレンジの四角で囲んである部分(画像) なぜこのような工程があるのですか?無くても解ける気がします。 解説よろしくお願い致します。

例題21 楕円の2接線が直交する点の軌跡 0 =1…O に引いた2本の接線が直交する。 点P(b, q) から楕円 23 双田線の性質 の 4 の き,点Pの軌跡を求めよ。 = -4(mp-q)° + 4(4m° + 1) 1 =4((4-が)m+2bqm+1-q} 章 (4-が)m° +2pqm +1-°= 0 ④ こ よって 4-がキ0 であるから, m についての2次方程式④の 2つの解を mi, m, とすると, m,, m, は2本の接線の傾 きを表す。 2本の接線が直交するとき m,mg =-1 であり,解と 軌跡の問題である。 の本 Dキ±2 より 4-がキ0 I 軌跡を求める点PはP(b, q)とおかれている。 →hgの関係式を求めたい。 4 AP(b, q) 2 与えられた条件を式で表す。 未知のものを文字でおく 1- ら 4-が 0 係数の関係より Mim2 2本の接線の傾きを考える。 →接線を yーq=m(x-p)…2 の形でおく。 条件の言い換え 《CAction 直交する接線は, 重解条件と垂直条件を利用せよ 例題 20 2x Aclion よって 1- 4-が が+ポ=D5(カキ±2) ここで,④の判別式を D。とすると =-1 Ae o のと2を連立した方程式を③とすると の 00 4 D。 =が+4q°-4 4が+=5 より =5- mの2次方程式 ①と②が接する →(3の判別式)= 0 …④ = 3q°+1>0 条件の 0 ゆえに,すべてのqについて④ は 異なる2つの実数解をもつ。 1点Pが楕円の外部にある とき が+4g°>4より D,>0 となり ④は2つ の実数解をもつ,と考え てもよい。 -2 2次を (接線が2本ある →0を満たす実数 m が2つある。 F+xm) よって,息Pの軌跡は x°+ y° =5(xキ ±2) 「m, m, とすると 条件のより mim, = -10=D ケ 3 2の式から, q以外の文字を消去して,か, qの式を導く。さケ 0 イ)で求めた軌跡に(ア)の 4点を加えると 円x+y=5 全体とな 除外点がないか調べる。 (ア),(イ)より,求める点Pの軌跡は した円x+°=5 5 るす S左呼 大式大9 開(ア) 点Pを通る直線 x=D p が楕円 に接するとき よって,4点(2,1), (2, -1), (-2, 1),(-2, -1) から, 直交 する楕円の接線 x= ±2, y= ±1(複号任意) が引ける。 (イ)pキ±2 のとき 接線はy軸と平行でないから, 点 Pを通る直線は V5 オx 1 る。 p= ±2 4点Pを通る直線は -2 02- ロ x=p または PA -1 yーq= m(x-p) 頂点における接線 x= ±2, y=±1(複号 任意)の交点である。 0 ー5 ケの せ Point 楕円の2接線が直交する点の軌跡 例題 20 の Point (2) で学習したように 放物線C に引いた2本の接線が直交す るような点Pの軌跡は放物線Cの準 線である。 tー方, 例題 21 で学習したように, 楕円 Cに引いた2本の接線が直交するよう な点Pの軌跡は円となる。 この円を楕 円Cの準円という。 図1 図2 P/ 準円 P 3階隊 o C y= m(x-p)+q とおける。 の, 2 を連立すると …2 の 準線) yーq= m(x-p) 0 る ( (例) x+ 4{m(x-p)+q}° = 4 (Am?+ 1)x-8m(mp-q)x+4{(mp-)-3=0· 44m +1+0 より,③は 一般に,楕円 + =1 の準円は x+y? = α'+6となる。 楕円のと直線2が接するとき, 2次方程式③の判別式 を D,とすると D、= 0 |xの2次方程式である。 D、 = 16m°(mp-q)°-4(4m° + 1){(mp-g)'-1} r O~ 4 練習21 楕円 2:x+ y=2…① に引いた2本の接線が直交するとき,その交点Pの 曲跡を求めカ上 |22次曲線と直線 最考のプロセス

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数学 高校生

○で囲んで?つけとる所が分かりません。 教えて下さい。よろしくお願いします🙇‍♀️

2(b, gは±1以外に公約数をもたない戦動 高次方 例題54 問題編 4 高と xの整式+a である。さらに 定数a, bの値 41 Action》「~ない」の証明は, 背理法を利用せよよ 有理数を解にもっと仮定 →r= 目標の言い換え (mの倍数) 」(左辺) 1(右辺) を厳しくする。 42 (1) 整式 P(x 矛盾 (mの倍数でない) D= (n の倍数) ) (nの倍数) に矛盾 ニ である。P (2) nを2に 0= この方程式が有理数の解をもつと仮定する。 すなわち、 2(0,9は土1以外に公約数をもたない整数でb21) ロ 解答を考えながら, 必要に応じて条件 整式 P(x) ある。この 43 4思考のプロセス。 に,解答9行目で を絞り込むために 与式に代入すると() +2-(4 ( としておく g+2pg°+2が=0 …の が解であるとする。 x" を(x- 44 +2= 0 3るす 両辺にがを掛けると 『=-2p(g°+が) 45 次の整式 pでくくり,積の形 くることで, 両辺の あるいは, 何の るか考えることがで よって かとqは土1以外に公約数をもたないから,pと g°も±1 以外に公約数をもたない。 (あ21であるから のに代入すると 『+1は整数であるから, ②よりは偶数である。 よって,qも偶数である。 ゆえに,2の左辺は8の倍数であるが, g°+1は奇数であ るから,右辺は8の倍数にはならず矛盾。 したがって,方程式 x+2x°+2=0 は有理数の解をもた てaのとき b=1 46 次の方 (1) 2a 「が偶数=q増 は真。対偶を用いて、 明できる。 1gが偶数であることが g°は偶数,よって は奇数である。 47 次のア ない。 (別解)(6行目までは同様) か,9は整数であるから, q°は偶数であり,qも偶数である。 9= 2g' とおくと, ①は 4g° = -(4q°+が) かとqは±1以外に公約数をもたないから, なく,qとも±1以外に公約数をもたない。 よって,p=1 であり,② は 左辺は4の倍数であるが,右辺は4の倍数ではないから 矛盾。 48 方程 8q° = -2p(4q" +が) …2 0 のッ pは偶数で 4g* = - (4g°+1) 49 練習54 8 = 3 のプロセス|

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数学 高校生

一行目のx=0は解ではないのでの部分をx≠0と書いたらばつになりますか?

既知の問題に帰着 係数が左右対称 相反方程式という。 そうはん 相反方程式× 例題48 次の方程式を解け。 (1) x*+3x°-2x° + 3x+1= 0 (2) x°+ 4x+x+x°+ 4x+1= 0 対称 (1) +3x-2x°+3x+1= 0 で割る 1 x+ 3x-2+3. 1 x?+ +3(x+ x -2=0 組にする Xで表される Xとおく (2)相反方程式であるが, x°で割っても, xで割っても, うまく組をつくれない。 →まずは,因数定理を用いて因数を1つ見つける。 Action》 2n 次の相反方程式は, "で割り x+ー =X とおけ 闇(1) x=0 は解ではないから, 方程式の両辺をxで割ると 3 2°+3x-2+ 日両辺をで割るため に,まず xキ0であるこ とを確かめる。 1 = 0 x (fc0)=4なので 火もO すなわち 1 +3(x+ -2 = 0 x 1 x+ =X とおくと,① は X?+3X-4=0 X? = (x+ x = x°+2+- (X+4)(X-1) =0 より x+ -4, 1 x =ー よって 1 x+ x 1 =-4 のとき x+4x+1=0 より x=-2±/3 ニ= X°-2 1土/3i 1 =X より x 1x+ 1 =1のとき x°_x+1=0 より x= 2 x x°+1= Xx 1土/3i これより - Xx+1= 0 したがって x= -2±/3, 2 (2) P(x) = x*+4.x* + x+x+4x+1 とすると P(-1) = -1+4-1+1-4+1= 0 P(x)をx+1で割ると,商は x*+3x°-2x°+3x+1 よって 因数定理を用いる。 PlusOne 奇数次の相反方程式は、必 ずx=-1 を解にもつ。 (x+1)(x* + 3x°_2.x°+3x+1) =0 ゆえに x+1=0 または x*+3x°-2.x°+3x+1=0 したがって,(1) より 1土/3i (1)の結果を用いる。 =-1, -2±/3, 2 1章-高次方程式一 思考のプロセス

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