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1のn乗根と
TC
例題61
COS の値
n
2
²/²z+
2
-π+isin π とする｡
57
a = cos
5
(1) α°,1+α+α² + α°+α, 1 +α +α + α+ (α) の値を求めよ。
2
(2) cos 15 の値を求めよ。
(1) ド・モアブルの定理を用いる。
1+α+a²+a+α*
因数分解
1=(x-1)(x+x+x2+x+1)を利用。
前問の結果の利用 αと
αα = |α|2 を利用
の関係
→ 1+α+α²+a+ (α) をつくる。
Action》 α-1 +α - 2+ +α+1は,α-1の因数分解を利用せよ
(②2) cos/2/3=(axの実部
COS
この式で COS / πを表すと?
α,
Action》αの実部は, 1/12 (α+α)を考えよ
5
(1)=(cos
= (cos-²/+isin / )* = cos2π+isin2=1
5-1=0
これより
よって (α-1)(a^ + α + α² +α+1)=0 _
αキ1 であるから 1+α+α°+α°+ α = 0
1
|a| = 1 すなわちad = 1 より, a
であるから
a
1
1
1+a+a² + a + (a)² = 1 +a+a² +
+
amica² 18(1
1+a+a² + a³ + aª
= 0
a²
2
2
(2) x = cos- -π とおくと, COS
1/1/(a+α)である
5
から
α+α = 2x
また
a²+(a)²=(a+α)²-2aa =4x²-2
(1) より, 1+ (a+α)+{a²+(a)^}=0であるから,
①, ② を代入すると 4x2+2x-1=0
2
−1+√5
4
x = COS
π>0 であるから cos=
5
2
α = COS
02/77 +
in /
π+isin πとする。
(1) ° + α5 + α* + + α + α+1の値を求めよ。
(2) 3+ (α)+α²+(a)² + α + α + 1 の値を求めよ。
(日)
2
思考プロセス
練習 61
九三
ド・モアブルの定理
一般に
x" - 1
=(x-1)(x-1+xn-2
+･･･+1)
2
lal
= COS
n+isin 12/31
=1
19
1 +α+α² + α3 + α = 0
を代入する。
aa = |a|=1
1±√5
4x=
4
0 < =² / π < / kh
2
0<cos / <1
27/10
034²-4x=1 であることを示せ。
2章 複素数平面
