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第3問 図形の性質
【正解・配点】 (20点満点)
b
記号
ア イ
ウ エ
正解
配点
記号
1 2 コ
2 サ 5
2
シ
ス
2
1
オ2 セ 0
ク
カキ
ケ
①③ ①② 0 0 ① ② ②
2
2 2
ソ
2
正解
2
配点
記号
タ
チ
ツ テ
ト ナ =
小計
2
5
5
2
1 4
4
正解
配点
【解法】
(1) 四角形 AHPM について
∠AMP + ∠AHP =90°+90°=180°
OB2=OM・OP ...... ③
① ③より
OB²=OA OH (0, 0)
②を変形すると
OH=
OB2
OA
....... ②'
べきの定理によ
ABAC = A
......②
となり、線分 OB および線分 OAの長さはそれぞれ
一定であるから、線分OHの長さも一定である。
よって, 点 (2) は定点である。 ······ (
一般に、直線と点Tが与えられるとき,T
通りに垂直な直線はただ一つ (2) である
よって、点Hを通り、直線 OA に垂直な直線はただ
一つであり,点Hが定点であることを考えると、直
線 l が定直線であることがわかる。
以上により、条件を満たす点Pがいずれも定直線
上にあることが示された。
また, AB AC のとき,
点Aと点Mが一致するか
ら ③より
a (10√2-a)
a²-10√2 a
a=5√2+.
であ
AB > AC
a=5√2+
また、弧CHに
∠ABH=
対角は
<BAH=
よって, A
BH : OC
BH:10
であるから, 4点A, M, P, H (①)は同一円周
8BH =
上にある。
(答)
べきの定理 (3) により
(答)
BH = -
B
OA-OH-OM-OP (0, 2)
(答) ...... ①
OP=
=
OB2
OB2
OM OA
A
点Pは半直線OA上にある
から ②'より,点Pは
AB AC のときの点H
P(H)
と一致する。
よって、点Pは直線上にある。
(証明終わり)
(2)②り
また, △PBM の外接円を考える。 ∠PMB=90° よ
り, PBは外接円の直径であり, ∠PBO = 90° より
直線OBO は点Bを接点とする接線となってい
る。 (答)
OH=
OH= OB² = 10-25
|H
また
したがって,方べきの定理により
OA 8
また,∠OCP=90° であるから, OB // CP のとき
∠BOC=90°である。このとき, 四角形 OBPCは
1辺の長さが10の正方形であり
OP=√2OB=10√2
(
さらに,∠OBP= ∠OHP=90° であるから,
AB > AC のとき,四角形 OBPHはOP を直径と
する円に内接し,∠OCP=90° であるから点Cも
この円周上にある。
∠BOC=90°より, BCはこの円の直径であり、
AB=α とすると
AC=BC-AB=10√2-a
......
(
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