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この
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基本例題 29 整数解の組の個数 (重複組合せ
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組(x,y, z) は何個あるか。
(2) x+y+z=6 を満たす正の整数解の組(x,y,z) は何個あるか。
CHART O OLUTION
S
○と仕切りの活用 ・・・・・・!
(1)x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組(x,y,z) は,7個の○と2個の
仕切りの順列を考え,仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から
順に x,y,z とすると得られる。 例えば
000 100 100 K
100 100000
(x, y, z)=(3, 2, 2)
(x, y, z)=(0, 2, 5)
がそれぞれ対応する。
(2)正の整数解であるから, x,y,zは1以上となる。 そこで,x-1=X,
y-1=Y, z-1=Z とおき, 0 であってもよい X≧0, Y≧0, Z≧0 の整数解
の場合 ((1) と同じ)に帰着させる。 これは, 6個の○のうち、 まず1個ずつを x,
y, zに割り振ってから、 残った3個の○と2個の仕切りを並べることと同じ
である。
解答
(1) 求める整数解の組の個数は7個の○と2個のを1列に
並べる順列の総数と同じで
lp.267 基本事項 3. 基本 28
9C7=9C2=- -=36 (個)
9.8
2･1
別解求める整数解の組の個数は,3種類の文字 x,y,z から
重複を許して7個取る組合せの総数に等しいから
3H7=3+7-1C7 = "C7=9C2=36 (個)
(2) x≥1, y≥1, z≥14²³5
x-1≧0, y-1≧0, ²-1≧0
ここで,x-1=X,y-1=Y, z-1=Z とおくと
X+Y+Z=6-3=3
よって 求める正の整数解の組の個数は, 3個の○と2個の
|を1列に並べる順列の総数と同じで
5.4
別解 〇を6個並べる。 求める正の整数解の組の個数は,○と
5C3=5C2= =10 (個)
2.1
〇の間5か所から2つを選んで仕切りを入れる方法の総数
と等しいから
5C210 (個)
D.
3つの部分に分けるには,
3-12 (個) の仕切り
必要
9!
2!7!
でもよい。
B3H3=3+3-1C3
=5C3=5C₂
=10 (個)
◆仕切り | は, 両端に入れ
ることはできない。
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1章
3
