分子は,初項1,公差1の等差数列である。すなわち,もとの数列の項数と分子は等
について,第1項から第100項までの和を求めよ。 O景 [類岩手
OOO00
基本 例題112 群数列の応用
9
8
550
の分数の数列について、
10
11
6 7
4'5'
3
4
5
2
も ずすすす
[類東北学院大)
1'2'2'3'3'3'4'4'4
基本111)
初項から第210項までの和を求めよ。
の籍
分母:1|2,2| 3,3, 3|4,4,4,4|5,
1個 2個
指針> 分母が変わるところで 区切り を入れて,群数列 として考える。
4個
第n群には,分母がn の分数がn個あることがわかる。
分子:1|2,3| 4, 5, 6|7,8, 9, 10 |11,
3個
しい。
まず,第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
解答
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
6|7 8
もとの数列の第を頂は分
子がんである。また,第&
群は分母がkで, k個の数
3|4 5
9
10|11
1|2
1|2'2|3'3'3|4'
04'4' 4|5
第1群から第n群までの項数は
大き間
を含む。
イこれから,第n群の最後の
1
数の分子は n(n+1)
第210項が第n群に含まれるとすると
108-9-(1-)+1+1-11)
1
(n-1)n<210<→(n+1)
2
50
11 (半前)
知10
よって
(n-1)n<420Sn(n+1)
(n-1)n は単調に増加し, 19·20=380, 20·21=420であるから,
のを満たす自然数nは
また,第210項は分母が 20 である分数のうちで最後の数であ
る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
n=20
1
;20-21=210
0E
2
n?+1
は第n群の数の分子
ゆえに,求める和は
の和→等差数列の和
20 k°+1
1
20
n{2a+(n-1)d}
20
1/20·21·41
11
k=1
k=1
2
2
\k=1
2
=1445
切を入れる
に注目
練習 2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
112
1
1
2
3
1
3
8
5
7
135 麻15 1
4' 4
8'8'8'16' 16°(16' e1632
大
