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168 第6章 微分法と積分法
108 面積(V)
放物線y=x^²-x+3 ...... ①,y=x²-5x+11 ......
② につい
て 次の問いに答えよ.
(1) ①, ② の交点の座標を求めよ.
(2) m, n は実数とする. 直線y=mx+n..... ③ が 1, ②の両
方に接するとき,m,nの値を求めよ.
(3) ① ② ③ で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(2) 89 によると,共通接線には2つの形があります。
精講
要があります. それは,上側から下側をひくとき ( 105) 上側の
(3) 図をかいてみるとわかりますが,面積を2つに分けて求める必
式が2種類あるからです.
解 答
(1) ①② より, y を消去して
x2-x+3=x2-5x+11
4.x=8
よって, ①, ② の交点は (2,5)
(2) (i) ①,③ が接するとき
x2-x+3=mx+n より ²-(m+1)x+3-n=0
判別式をDとすると, D1 = (m+1)2-4 (3-n) = 0
∴.m²+2m+4n-11=0 ......④
(i) ②③が接するとき
x2-5x+11=mx+n より x²-(m+5)x+11-n=0
判別式をD2 とすると, D2 = (m+5)²-4(11-n)=0
.. m² +10m+4n-19=0
・⑤
④ ⑤ より -8m+8= 0 .". m=1
④より n=2 ∴m=1,n=2
(別解) (85の考え方で･･････)
①上の点(t, t-t+3) における接線は
基礎問
x=2 このとき、y=5
y-(t²-t+3)=(2t-)(x-1)
∴.y=(2t-1)x+3
これは、②にも接しているので、
x²-5x+11=(2t-1)x-t²+3
より²-2(t+2)+12+8= 0
の判別式をDとすると,241=(t+2)-(+8) = 0
∴. 4t-4=0
∴. t=1
よって, ①,②の両方に接する直線は, y=x+2
∴.m=1,n=2
(3) Sは右図の色の部分.
.. s=₁^{(x²-x+3)(x+2)}dr
演習問題 108
311
①
分ける
+ ſ² {(x²–5x+11)−(x+2)}d+
=f'(x-1)2dx+∫ (x-3) dr
12
0 123
=1/13(1-1)+1/13(1-3)] 12=1/3+1/3-3
(x-
注
(*) で定積分する関数が完全平方式になるのは当然です.
を見てください。
105の
「上にある式一下にある式」という計算は、2つの式を連立させてyを
消去する作業と同じことをしているので,交点の座標がかくれてい
ることになります. ①と③の交点が, x=1 (重解) だから,
「上にある式一下にある式」 = (x-1)^ となるのは当然です.
ポイント
上にある式や下にある式が積分の範囲の途中で変わる
ときは、面積はそこで分けて考える
曲線 y=x²-6x+4 ･･････① について,次の問いに答えよ.
(1) 原点から①に引いた2本の接線の方程式を求めよ.
(2) ① と (1)で求めた2本の接線で囲まれる部分の面積を求めよ.
169
x
第6章
n
(₁
