例題 11-2 不定方程式の整数解 [2]
xyz, xy+yz+2x=xyz を満たす自然数の組 (x, y, z) について
(1)x3を示せ。
(2)このような自然数の組 (x, y, z) をすべて求めよ。
解答
(1) xy+yz+zx= xyz
......
①とおく。
1≦x≦y≦zより, xy ≦yz, zx≦yz であるから
xy+yz+zx≦yz+yz+yz=3yz
① を代入して xyz3yz
よって yz(x-3) ≤0
1≦x≦ymzと与えられた
方程式を利用して、xの値の
範囲を絞り込む。
y>0, z > 0 より x-3≦0 となるから
x≦3
(2) xは自然数であるから, (1)の結果より
(ア) x=1のとき, ①より y+z=0
x=1,2,3
これを満たす自然数 y, zの組は存在しない。
(イ) x=2のとき, ① より
2y+2z = yz
これを変形して (x-2) (z-2)=4
x=2≦x≦zであり, y, zは自然数であるから, y-2 z-2は
0≦y-2≦z-2を満たす4の約数である。
y(z-2)-2z= 0
両辺に4を加えて
(z-2)-2(z-2)=4
30
☐
よって
(y-2, 2-2)=(1, 4), (2, 2)
ゆえに (y,z) = (3,6), (4,4)
(ウ) x=3のとき, ① より
3y+3z = 2yz
これを変形して (2x-3)(2z-3) = 9
x=3≦y≦zであり, y, zは自然数であるから, 2y-3, 2z-3は
3≦2y-3≦2z-3を満たす9の約数である。
よって
(2y-3, 2z-3) = (33)
ゆえに (y, z) = (3, 3)
(ア)~(ウ)より,求める自然数の組 (x, y, z) は
(x, y, z) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)
y(2z-3)-3z = 0
両辺を2倍して9を加えて
2y(2z-3)-6z+9 = 9
2y(2z-3)-3(2z-3)=9
