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基本例題81 最大値、最小値を関数ととらえる問題
aは正の定数とし, 2次関数f(x)=x-2ax+2a (0≦x≦2の最小値を
する。このとき, m(a) の最大値とそのときのαの値を求めよ。
解答
関数の式を変形すると
f(x)=(x-a)²-a²+2a
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=α
[[1] 0<a≦2のとき
図 [1] から, x=αで最小となる。
最小値は f(a)=-a²+2a
指針 関数のグラフ (下に凸の放物線) の軸は直線x=α であるが, αのとる値によって軸の位
が変わる。 最小値を考えるから、軸=aと区間 0≦x≦2の位置関係を調べる
本間では、a>0であるから、軸が区間の内、右外の場合に分けて考える
場合分けされたaの値の範囲で求めたm(a) に対し, b=m(a) のグラフを考えることで
m (a) の最大値を求める。
[2] α>2のとき
図 [2] から x=2で最小となる。
最小値は f(2)=2a+4
[1]
[2] から
最小
x=0x=ax=2
26穴
m(a)=
[2]
x=0x=2x=a
-a²+2a (0<a≤2)
1-2a+4 (a>2)
-a²+2a=-(a−1)² +1
b=m(a) とすると, そのグ
の図の実線部分のようにな
て, m (a) は α=1 で最大
る。
最小
ム [富山県大]
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m(a)
まず,基本形に直す。
FOR
軸が区間の内
a>0であるから、軸が
間の左外は調べなくてよ!!
軸が区間の右外
基本
(1) B
定め
(2) 1
の
指針
0<a≦2において
b=m(g)グラスは
[CH
解
(1)
(2
