〰️を引いた式の不等号がどうしてそうなるのかわかりません。教えてください🙇‍♀️

るため する。 ev ev 110 方程式の整数解 (4) CANTOJA 例題270 不定方程式 2x+3y+z=10 を満たす自然数の組(x, y, z) をすべて求 めよ. 考え方 整数解ではなく, 自然数解であることに注意する. すなわち, x1,y≧1, z ≧1 ・･・・・・・(*) である. 1つの文字について整理すると, 3y=10-2x-zであり, x≧1, z≧1 であるから, TR. 3y=10-2x-z≦10-2×1-1=73) これより,yの値が見えてくる.このように(*)を利用して値を絞り込む. 3y=10-2x-2 x, zは自然数であるから,x≧1 ≧① より。 3y=10-2x-z≦10-2×1-1=7 解答 与式をyについて整理すると, ましたがって,y≧1/27より。 3 300< .0< Focus y = 1, 2 (i)y=1のとき, 2x+3+z=10 より, 2x+z=7 ......① 0: z≧1 より, 2x=7-z≦7-1=6 したがって,x≧3より、x=1,2,3 ①より, (x, z)=(1, 5), (2, 3), (3, 1) < (ii)y=2 のとき, 2x+6+z=10より, 512x+z=4 ・② z≧1 より, したがって、x=2123 より x≦ よって, 2x=4-z≦4-1=3 ② より, (x, z)=(1,2) x=1 3 不定方程式 565 (x,y,z)=(1, 1,5), (2,1,3), (3, 1, 1), (1, 2, 2) **** 求める解が自然数のときは, とり得る値の範囲に注意して 「値を絞り込む」 について整理するの は,係数が最も大きい から。(下の注>を参 照) 1sys/ を満たすy の値は、1と2 同様に,次はxの値を 絞り込む. 40 1= Ads=47

⑴でどこが間違っているか教えて欲しいです🙏

でないとき, 大きい方の数 この数 48で割 k+7) こに着目し が大きい -････ を代 を探す. 85 目し 代入 より、 よって 求める整数解は 1272 x=-3k+1,y=4k-1 (kは整数) 次の不定方程式の整数解を求めよ. (1) 63x+29y=1 これに②を代入して, vg-1-11- (1) 方程式 63x+2y=1 ・・・･･･ ① の係数 63 と 29 につ いてユークリッドの互除法を用いる。 63=29×2+5 より 295×5+4 より 54×1+1 より, ④③ を代入して, 5-(29-5×5)×1=1 5x6-29×1=1 $I-+|+0 ( 63-29×2)×6-29×1=1 63-29×2=5 ...... ②8 |29-5×5=4... ③ =x 5-4×1=1 ......④ したがって, 63×6+29×(-13)=1......⑤ ①-⑤ より 63(x-6)+29(y+13)=0 (2) 73x-26y=3 63(6-x)=29(y+13 ) ......6 63と29 は互いに素であるから, 6-x は29の倍数と なる. 10 したがって, kを整数として 6x=29k, すなわち, |x=-29k+6 これを⑥に代入すると, 63×29k=29(y+13) 63k=y+13 より よって、求める整数解は, x=-29k+6,y=63k-13(kは整数) y=63k-13 ①⑤ より (2) 方程式 73x-26y=3 いてユークリッドの互除法を用いる. 73=26×2+21 より, 73-26×2=21 ......2 26=21×1+5 より 26-21×1=5......③ より 21=5×4+1 より, ④③ を代入して, SIZM 21-26-21×1)×4=1 21×5-26×4=1 これに② を代入して、つまり、 201 73×15-26×42=3 (18) ( 73-26×2)×5-26×4=1 したがって, 73×5-26×14=1 両辺に3を掛けると, 21-5×4=1 ......④ …① の係数 73 と 26 につ①の特殊解は見つけにくいの で,まず, ユークリッドの互 73(x-15)-26(y-42)=0 73(x-15)=26(y-42) 7326は互いに素であるから,x-15は26の倍数と る. 73k=y-42 より, y=73k+42 よって、求める整数解は, したがってんを整数として, x-15=26k, すなわち, x=26k+15 これを⑥に代入すると, 73×26k=26(y-42) |x=6, y=-13 が ① の解の 1つ 10 除法を用いて, ①の右辺を1 とおいた方程式 73x-26y=1の特殊解を求 める. |x=5, y = 14 が 73x-26y=1の解の1つ (6) 12x=15, y=42 が①の解の1 両辺に3を掛けて、 ①の特殊 解を求める. :656 of -in 150 11=M

赤線の引いてあるところが分かりません。 いきなりこんな式が出てきて、何をしているのか何故そうなったのかを知りたいです。 また、この問題の場合は別解の方が簡単でしょうか？ よろしくお願いいたします。

31であり、こ 4 次の等式を満たす整数x,yの組を1つ求めよ。 *(1) 24x+19y=1 (2) 43x+18y=5 が自然数のとき 7 +10と2月は互いに

129. 記述これでも大丈夫ですか？？

JUL 510 OS 00000 基本例題1291次不定方程式の応用問題 3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の ものを求めよ。 指針▷ 基本 127,128 が共通の数。 8が最小である。 3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23, よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると 3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。 A8, 23, 38, 53, 68, また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53, A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 -110/ そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。 CTORUTSJEFE 解答 nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3 3)=0 S&TS 5y+3=7z+4 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 小 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1 x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x 3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表 される。よって x=5k+2(kは整数) ② bom) 3(5k+2)+2=7z+4 ② を 3x+2=7z+4に代入して ゆえに z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4) 7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と 表される。 よって z=151-8 (Zは整数) (Thom) これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528 最小となる自然数nは, l=1 を代入して 53 TE bom) 85-= として解いてもよいが,係 数が小さい方が処理しやす い。 このときy=3k+1 x-7z=2から 7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0 ゆえに, Zを整数として x=7l+3 これと x=5k+2 を等置し て 5k+2=7l+3 よって5k-71=1 これより, k, lが求められ るが, 方程式を解く手間が 1つ増える｡ 検討 百五減算 2+(3=376)00=1+00=178 ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年 齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。 求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり, n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7) よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。 ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k このkが105を引く回数である。 TRON 練習 3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち (3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。 どのよう できない 3m よー 解答 mnは食 [1] n= よって, x=3m- [2] n= ここで. よって ......) [3] n= ここで よって ......) [1]~[3] 形に表す よって, したが一 (検討 次ペー しかし 然数も なお、 a

128.1 写真のような解答でも大丈夫ですか？

508 基本例題 1281次不定方程式の整数解 (2) ax+by=c 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 7x+6y=40 |指針 CHART 不定方程式の整数解 ① ax+by=cの整数解 が第一の方針。 ない。そこで, (2) では,次の方針による解答を考えてみよう。 ① aとbの最大公約数を互除法によって求め,その計算過程を逆にたどる。 …………特に,1=ab+bg の形が導かれたら,両辺をc倍してa(cp)+b(cg) = c 情の注意 [②] 係数を小さくして(本書では係数下げと呼ぶ), 1組の解を見つけやすくする。 なお,検討として 3 合同式を利用する 解法も取り上げた。 (2) 37x-90y=4 1組の解 (b, g) を見つけて α(xp)+b(y-g) = 0 しかし, (1) は比較的見つけやすいが, (2) は簡単に見つから 解答 (1) x=4, y=2は7x+6y=40の整数解の1つである。 ゆえに, 方程式は 7(x-4)+6(y-2)=0 すなわち 7(x-4)=-6(y-2) 7と6は互いに素であるから, kを整数として s-x-4=6k, -(y-2)=7k と表される。 よって, 解は x=6k+4,y=-7k+2 (kは整数) (2) [解法] 37x-90y=4..... ① m=37, n=90 とする。 16=5・3+1 90=37･2+16 から 16=90-37・2=n-2m ...... a 37=16・2+5 から 5=37-16・2=m-(n-2m) ・2 解がすぐに見つからなければ 互除法 または 係数下げ 13 $+(1+)=-17m+7n ゆえに =5m-2n.... から1=16-5・3=(n-2m)-(5m-2n) ・3 37 (-17)-90-(-7)=1 両辺に4を掛けて 37(x+68)-90(y+28)=0 ① ② から すなわち 37(x+68)=90(y+28) 3790 は互いに素であるから, kを整数として x+68=90k,y+28=37k 37 (-68)-90 (-28)=4 と表される。 x=90k-68,y=37k-28(kは整数) よって,解は [解法 [②2] 9037･2+16から, 37x-90y=4は 37x- (37・2+16)y=4 基本 127 演習 131 すなわち 37(x-2y)-16y=4 x-2y=s･･････ ① とおくと 37=16・2+5から (16-2+5)s-16y=4 (2) 37s-16y=4 ■7x+6y=40から 7x=2(20-3y) よって, xは2の倍数であ る。このようにして、方程 式を満たす整数解を見つけ る目安を付けるとよい。 互除法 の利用。 文字におき換えて変形。 前ページ参照。 16 に を代入して整理す る。 16 に ⓐ 5 ⑥ を代入し て整理する。 m²を37, nを90に戻す。 x=-17, y=-7は 37x-90y=1を満たす。 係数下げによる解法。 25 16 192€ b a, ax- 3 #6 aを この また (1) 10 (2 ① よ (2) 2 (3 10 な $12

数Aの不定方程式の問題です (2)3xy+x+6y-2=0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - さらに、3y+1が『3で割って1余る数』 であることに注意すると (x+2,3y+1)=(1,4),(4,1... 続きを読む

練習問題 9 次の方程式を満たす整数x, y をすべて求めよ. (1) (x-2)(y-2)=3 (2) 3.xy+x+6y-2=0 「約数に注目する」手法を練習してみましょう. その場合 (式)x (式)=整数 qas2 という形を作ることがポイントになります. (1) はすでにその形になっています が,(2) はうまく工夫して上の形を作り出す必要があります. 解答 精講 (1)-2,y-2は3の約数であるから 20 (x-2, y-2)=(1, 3), (3, 1). (-1, -3), (-3,-1)< これを解いて 2009 (x, y)=(3, 5), (5, 3), (1, -1), (−1, 1) (2) 3.xy+x+6y-2=0 IC (3y+1)+6y-2=0xでくくる (18) (3y+1)+2(3y+1)-4=0 ←3y+1 がうまく現れるように式を変形 OROT (x+2)(3y+1)=4 (式)×(式)=整数の形 (x+2, 3y+1)=(1,4),(2,2),(4, 1), 「負の約数も 忘れないように 110 H (−1, -4), (-2, -2), (-4, -1) のさらに, 3y+1 が 「3で割って1余る数」 であることに注意すると (x+2, 3y+1)=(1,4),(4,1), (-2,-2) これを解いて, (x,y)=(-1,1),(2,0),(-4,-1) CHRON コメント 一般の方程式を解くときは,(式)×(式)=0 の形を作らなければいけません が,整数解の問題では右辺に 「0以外の整数」が残っていても構いません.定 数のズレは無視して, 因数分解ができる形 を調整していきます.

（3）解説のgcdの二行目の式変形が分からないです

8.6 数列{an} を次の条件によって定める。 8 ・g a=1, 2=2, an+2=2an+1+a (n=1, 2, 3, ...) (1) as, ai, as を求めなさい。 9.) (2)についての1次不定方程式 〇 ash+αy=1の整数解をすべて求めなさい (3) すべての自然数nに対して, an と +1 が 互いに素であることを示しなさい。 (17 首都大・文系)

53x+12y=1 の不定方程式の解はどのように探したらいいですか？ (xが正の整数で最も最小) ちなみに答えはx=5,y=-22です。

ここの問題の解説と答えが欲しいですお願いします教えてくださった方フォローいいねベストアンサーします

中の [12] xについての2つの2次方程式 x2 + ax + b = 0 x2-5x+6=0 を同時にみたす解がただ1つあるとき、 a,b の値の組(a,b) をすべて求めよ。 ただし、a、bはともに負の整数とする。 (思考・判断・表現 3点) 点)

この回答の間違えてしまった原因を教えてください。

2549 -7° 3(5p-3)+2 = 7m²4 15 p-7m = // n=32+2 = 54 +3 = 7₂ +4₂ 5y 0 3x²+2=53+3 3x-57=1 3(x+2) - 5 (1 +1)=0 x+2=51€ Ⓒ @ 5 k-2, y = 3€ + 1. (2₁4)=(-2,-1) @ 3x+2=72+4 3x - 72 = 2 a 15k-6-72=2 15€-178 = +8 (K₁2)=(8.16) 15.(k-8) - 7 (2-16)=0 K-8 = 71 ( < Ⓒ ) (K 7l + 8) x=350+40-2=351+38 n = 3 (351 +38) + 2 = 105 1 + 116 >0 l>-/./.... I 17 ⒸDal = - 1 Dn= -105 + 116 =11