なぜ回答の黒塗りされてる部分で、x、yともに＝がはいってるのですか？

x+2y=4の交点の座 標は 与えられた3つの不等 式を満たす点(x, y)の ・存在する領域は、右図 の斜線部分である。 た だし,境界線を含む。 2x+3y=k ① とおくと, ① は傾きが 切片が今の直線を表す。『ル x+5y-80 図から, 直線 ① が点 (0.6) を通るとき、 kの値 は最大となる。 +3≧0 このとき k=0+3.6=18 -5y-2≤0 また,直線①が点 (872) を通るとき,kの値 は最小となる。 このとき これは 立不等式 の値の範 よって x=0, y=6のとき最大値18, x=1303 y=1/2/3 のとき最小値 2/2 233 8 3 =2.39 +3.2=22 ■指針■■■ P, Q をそれぞれxg, yg (x0,y≧0) とる とすると Aを12mg以上→2x+y≧12 Bを15mg以上→x+2y≧15 更に, 費用は4x+6y円と表される。 P, Q をそれぞれxg, yg とるとすると 2x+y≥12 01. (1)ym-x²+4 *(2) y>-2x2+4x 229 次の不等式, 連立不等式の表す領域を図示せよ。 (3x-2y-2)(2x+3y+3) < 0 *(1) x-5y+8≧0 *(3) 1 <x2+y^≦9 ✓ *230 右の図の斜線部分は, ど のような連立不等式の表 す領域か。 ただし, (1) は 境界線を含まず (2) は境 界線を含むものとする。 (3) [x2+y2≦4 (2) (y-2x) (y+2x) <0 (4) (x²-y)(1-x²-y²)≤0 (1) (2) y y -20 3 *2313頂点がA(2,0), B(-3, 4), C(-3, -1)である三角形の内部および周上を 表す連立不等式を求めよ。 >モート □232(1)xyが4つの不等式x≧0,y≧02x+y5x3y6 を満たすとき, x+yの最大値および最小値を求めよ。 *(2) x, yが3つの不等式 x+y≦6,2x+y≧6, x+2y≧4 を満たすとき, 2x+3yの最大値および最小値を求めよ。 ✓ 233 2 種類の薬品 P, Qがある。 その1gについ A成分 B成分 価格 て, A成分, B成分の量と価格は,それぞれ右 の表の通りである。 P 2 mg 1mg 4 円 Q 1 mg 2 mg 6円 Aを12mg以上, Bを15mg以上とる必要が x≥0, y≥0 1, A成分について B成分について x+2y15 k この [12] 以上の4つの不等式を 満たす点 (x, y) の存在 する領域は,右図の斜 15 線部分である。 ただし, 境界線を含む。 2 あるとき,その費用を最小にするには, P, Qをそれぞれ何gとればよいか。 *234 x, yが2つの不等式 x+y'≦4, y≧0 を満たすとき, 2x-yの量 3 6 値を求めよ。 傾きが一 ここで, 費用は4x+6y 円であり, 4x+6y=k 2 y切片が 4x+6y=k ① とおくと, ① は, k の直線を表す。 233 P, Q をそれぞれxg, 2x+y≧12, x+2・ する の不等式 図から, 直線 ① が点 (3, 6) を通るとき, kの値 は最小となる。 a よって、Pを3g, Q を 6g とればよい。 □ 236 次の不等式 □ 237 次の不等 (1)|x- ✓ 238 直線y 2 らない 例題 23 |指針] [解答] 直 文 239 ヒロ 239

数Bの数列の問題です マーカーのところでなぜわざわざK＝0を別で考えるのでしょうか？

ただし,自然数とする。 (1) x7 390 格子点の個数 重要 例題 28 次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座標, y ある点)の個数を求めよ。ただし, n は自然数とする。 (1)x0,y,x+2y2n CHART & SOLUTION W:2142 座標がともに整数で 00000 内部である 明日は右の図の赤く塗った三角形のお (2) x≥0, y≤n², y≥x² 基本16 0 よって、格子点の総数は 2nykk点が並ぶ。yoさんと (k=n,n-1,…, 0) 上には、 n-14 yak交点の食材 (2n-2k -2k+1)=(2n-2.0+1) なぜこの交点が x= -2k+2h 012 + (-2k+2n+1) 格子点の個数 直線x=k または y=k上の格子点を求め加える 「不等式の表す領域」は数学Ⅱの第3章を参照。 具体的な数を代入してグラフをかき、 見通しを立ててみよう。 n=3のとき (1) n=1のとき n=2のとき y 34 34 =x+2y=2 j x+2y=2.2. 3 _x+2y=2-1 -20 -10 (x-2x-2y) 391 012-222-26 =2n+1-2•½n(n+1)+(2n+1)) =n+2n+1=(n+1) (個) 線分 x+2y=2n (0≦ymn) 上の格子点( (0, n), (2, n−1), · (20)の個数はn+1 4(0, 0), (2n, 0), (2n, n), 2-21 2n 2-1 | k=0 の値を別扱いした -212-2+(2n+1)! +1 =-2(x+1) y -x+2y=2n でもよい。 (n+1)個 2x +(2n+1)(n+1) 3 (*) 長方形は、対角線で 種 2つの合同な三角形に分け られる。よって (求める格子点の数)×2 (対角線上の格子点の数) =(長方形の隅および内 々 の 部にある格子点の数) 列 で見る n=1のとき 1+3=4. n=2のとき 1+3+5=9, n=3のとき 1+3+5+7=16 一般(n)の場合については, 境界の直線の方程式 x+2y=2nから x=2n-2y よって、直線 y=k (k=n, n-1,…, 0) 上には (2n-2k+1) 個の格子点が並ぶから、 (2n-2k+1)において, k = 0, 1, '''', nとおいたものの総和が求める個数となる。 (2) n=1のとき -y+ n=2のとき n=3のとき ys y=1 -y+ -9 -44 (n) を頂点とする長方形の周お よび内部にある格子点の個数は (2n+1) (n+1) ゆえに、求める格子点の個数をNとすると 2N-(n+1)=(2n+1)(n+1).......(*) よってN= N=1/12 ((2n+1)(n+1)+(n+1)=1/2(n+1)(2z+2)=(n+1)(個) 34 (2)領域は、右の図の赤く塗った部分の周および内部であ 直線x=(k=0, 1, 2,...,n-1, n)上には, 22+1) 個の格子点が並ぶ。 よって, 格子点の総数は k=0 (n²-k²+1)=(n²-0²+1)+(n²+1-k²) 1 n=1のとき (1−0+1)+(1−1+1)=3, n=2のとき n=3のとき -0 (40+1)+(4-1+1)+(4-4+1)=10, (9-0+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26 一般 (n) の場合については, 直線x=k (k=0, 1, 2,...,n-1, n) 上には 1個の格子点が並ぶから,(n+1)において,k=0, 1, ものの総和が求める個数となる。 また、次のような、 図形の対称性などを利用した解も考えられる。 (1)の別解 三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。 このとき, 対角線上の格子点の個数を考慮する。 (2)の別 長方形上の格子点の個数から、領域外の個数を引いたものと考える nとおいた k=1 =(n²+1)+(n²+1)21- k=1 k=1 =(n+1)+(n+1)n-1n(n+1)(2n+1) =(n+1)(n+1)-1/2n(n+1)(2n+1) =(n+1){6(n+1)-n(2n+1)} =(n+1)(4n²−n+6) (1) PRACTICE 280 1 長方形の周および内 部にある格子点の個数 (n+1) (n+1) から、領域 外の個数を引く。 次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。 ただし, n は自然数と する。 (1) x≧ 0, y≧0, x+3y3n (2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x²

図3でこれ最大と最初の取る場所の位置逆だと初め思ったのですがなぜこの二つで最大最小とるのですか？

17:3 値の ピンポイント解説(xyの式)=kとおく考え方 ●最大値・最小値を求めようとする式をんとおく考え方 例題106 (以下, A とする) では,x+y=k と おいて解いた。その考え方は次の通りである。 領域Dに含まれるすべての(x, y) の値に 対して, x+yの値を計算し, x+yの最大 値・最小値を探し出すのは不可能。 ↓ そこで………… x+y=k とおいて, (x, y) を直線 y=-x+k 上の点としてまとめて扱う。 ky切片なので,図から判断できる。 よって, 直線 x+y=k ...... D内の点を1 つずつ調べる のは無理! k(=x+y)が y 173 x+y=k とおく ことで,まとめ て扱える! Ay y=-x+h ここに現れる! D 3章 14 wwwwww ①が領域Dと共有点をもつとき 切片の最大値・最小値を考えればよいことになる。 そこで,直線 ①を平行移動して,領域Dに初めて触れると ころから、領域Dから離れようとするところまでの様子を 調べると、 図1のようになる。 図から,直線①が, 図1 A k ① 最大 不等式の表す領域 める。 ●座標に 立方 てる。 点 (2,3) を通るとき, kは最大, 点(-2, 0) を通るとき, kは最小となる。 最 ●傾きの大小関係に注意 DO A と同じ条件で, x+3yの最大値・最小値を考えてみよう (これをBとする)。 図2 B y べる。 1 k 角形の x+3y=k とおくと y=- -x+ ② 3 一注目 (2 最大 ・傾き- ごおく ② 最小 直線 ②を平行移動させ、領域Dとの位置関係を調べると, 図2のようになる。 図からわかるように,Aでは,直線 ①が点 (2,3) を通るときに最大となったが, Bでは,直 ②が点 (04) を通るときに最大となる。 このように結果が異なる理由は, 直線 ①②と領域Dの境 界線の傾きの大小関係にある。 実際、直線 ①,② と境界線 y=-x+4の傾きを比較すると 1/2x+ -1-1/2-1/ このため、最大値をとるときのx, yの値が異なるのである。 最後に,Aと同じ条件で, -3x+yの最大値・最小値を考 えてみよう(これをCとする)。 10傾き、 felon 3 図 3 C y/3 (3) -3x+y=k とおくと y=3x+k 3 図3から、 直線 ③が,点(-2, 0) を通るとき, kは最大, 点 (2,3)を通るときは最小 このように平行移動させる直線と境界線の傾きの大小関係 が異なれば、 最大値・最小値をとるときのx,yの値も異なる 場合がある。 図をしっかりかいて考えよう。 傾き2、 傾き3- 最大 0 最小

230わざわざ求める連立不等式は綺麗な式にしないといけないんですか？ 回答の左の連立不等式のままじゃだめなのですか？ テストで原点されますかね？

n-1)3 +1 をlnとする。 0 52 第3章 図形と方程式 70- 4STEP数学Ⅰ (3) 012 [y≤ x² すなわち O (3x-2y-2>0 229 (1) (3x-2y-2)(2x+3y+3)<05 2x+3y+3<0 すなわち または よって、求める領域は[図] の斜線部分で ただし,境界線を含む。 x²+ y²≥1 または (3x-2y-2<0 (4) (3) (2x+3y+3>0 ly/2x-1 3_ すなわち, [図] の斜線部分である。た 界線は,円x2+y2=1は含まないで、 (4)(x2-y) (1-x-0から または (1-x²-y² ≤0 すなわち y=- A, B, Cを頂点とす 三角形の内部および 周上は、右の図の斜線 一部分である。 ただし, 境界線を含む。 この斜線部分は, 直線AB の下 直線 BCの右 「直線CAの の共通部分であ よって、 求める 2 または 3 * 2 3 *N-3 1 STEP □ 228 次の不等式の表す領域を図示せよ。 (1)y≦-x2+4 *(2) y>-2x2+4x □ 229 次の不等式, 連立不等式の表す領域を図示せよ。 580から1/10/3 (3)y≦2x2- よって、 求める領域は [図] の斜線部分である。 ただし,境界線は, 2直線 3x-2y-2=0, 230 *(1) (3x-2y-2)(2x+3y+3)<0 x-5y+8≥0 GOR (2) [x2+y2≦4 *(3) 1<x2+y^≦9 ((y-2x) (y+2x) < 0 2x+3y+3=0は含まないで, 他は含む。 (2) (y-2xXy+2x) <0から (y-2x>0 ly+2x<0 Jy-2x<0 \y+2x>0 または (4)(x-y) (1-x-y2)≦0 すなわち (y>2x ly<-2x {y<2x または \y>-2x *230 右の図の斜線部分は, ど のような連立不等式の表 す領域か。 ただし, (1) は 境界線を含まず, (2) は境 界線を含むものとする。 (1) y (2) -20 3 x -1| *2313頂点がA(2,0), B(-3, 4), C(-3, -1) である三角形の内部および周 表す連立不等式を求めよ。 232(1)xyが4つの不等式x≧0, y = 0, 2x+y=5,x+3y≦6 を満たすと x+yの最大値および最小値を求めよ。 *(2)x, yが3つの不等 (1) 2点 (-2,0), (0, 4) を通る直線の 程式は y=2x+4 2点 (3,0), (0, 4) を通る直線の方程式は 4 y=-2x+4 I 図から、 求める連立不等式は {y<2x+4 232 例えば 線を 囲を (1) 2直 x+3 よって、 求める領域は [図] の斜線部分である。 ただし,境界線は, 2直線 y=2x, y=-2xは 含まないで,他は含む。 (1) (2) y1 (y >0 x+4 すなわち (2x-y+4>0 標に |4x+3y-12<0 y>0 (2)2点(0.0) (1, -1) を通る直線の方程式は 021+1 2点 (1,0), (0, -1) を通る直線の方程式は y=-x-1 与 式 21 YO 図から、求める連立不等式は (x²+ y²≤1 X -2-10/12 x (x² + y² ≤1 YM-x すなわち 注意 上の図において、 境界線の一方を含み、一 方を含まない場合は,交点が含まれないことを 白丸で示した。 すべての境界線を含まない場合 は,交点に白丸は入れていない。 y-x-1 231 直線ABの方程式は すなわち 4-0 x+yo x+y+1≧0 y=-3-2(x-2) y=-5x+5 直線 BC の方程式は x=-3 0+1 '+y'S9 から r² + y² ≤9 直線CA の方程式は y=+3 (x-2)

解説についての質問です。 なぜ点(2,1)で接するとわかるのでしょうか？

265(1)条件の表す領域をP,条件gの表す領域をQとする。 piy <-2x+5,g:x2+y^< 5 より,P,Qを図示すると右の図の ようになる。 ただし, 境界線は含ま ない。 に移るように3点 P √5 直線 2x+y=5 と円 x2 +y2 =5は 点 (2, 1) で接するから、 図より QCP O (2,1) 52 x が成り立つ。 よって, gpが成り立つ。 +y=5; したがって, pはgであるための 件ではない。 十分条 必要条件であるが, +x

220のカッコ１なんでMのY座標が、2x➕kになるんですか？

解答編 -67 線 6x+17 ys xy)は、 は 一法は, 22 線分 PQ の中点Mの座標を (x, y) とおくと 1 … ⑤ y=2x+k=k+1 6 AM したがって, 点Mの座標は (2) ⑥から k=y-1 ④に代入して 1 222 (1) 求める領域は直線 y=3x+2の上側の部 分である。 e+y... ② したがって, 求める軌跡は 放物線y=1- 1= 24x+3y 5 6 上にあるから 4x+3y =6 220 (1) y=2x+k... 1, y=3xx ② とする。 ① ②からyを消去して整理すると x2-x+k=0 ③ この2次方程式の判別式をDとすると D=(-1)2-4-1.k=14k 直線 ①と放物線②が異なる2点 P, Qで交わ るための必要十分条件は D>0 すなわち 1-4k>0 よって、定数kの値の範囲は <12/ ....... ④ 2点P,Qのx座標を α, β (α キβ) とおくと, α, βは③の異なる2つの実数解である。 解と係数の関係から +β=1 [2] y=0のとき②から x=5 x= 5, y=0を①に代入すると m=0 よって, 点 (5,0)は,m=0のときの2直線の 交点である。 [1], [2] から, 点Pは,原点を中心とし、半径が 5の円から点(-5,0) を除いた図形上にある。 逆に,この図形上の任意の点は, 条件を満たす。 したがって, 点Pの軌跡は 原点を中心とし, 半径が5の円 ただし,点(-5, 0) を除く [参考] ①から第1の直 線は定点(-50) を 通り, ② から第2の 直線は定点 (50) を 通る。 また、この2直線は 垂直であるから,点 Pは2点(-5, 0), (5,0) 直径の両端 ② y@ とする円周上にあることがわかる。 ただし, ① は直線x=-5, ②は直線 y=0を表さないから, 点(-5,0) を除く。 数学 STEP A・B、発展問題 ○ 50 第3章 図形と方程式 218 が実数全体を動くとき、 次の点(x, y) はどのような図形上にあるか。 (1) x=t+1, y= -3t+2 (2) x=2t-1,y=t-t+3 P219m が実数全体を動くとき、放物線y=x-2mx+1の頂点Pの軌跡を求めよ。 *220 直線 y=2x+k が放物線 y=3x-x と異なる2点P, Qで交わるとする。 (1) 定数の値の範囲を求めよ。 また、線分 PQ の中点Mの座標をkで表せ。 (2)の値が変化するとき、線分 PQの中点Mの軌跡を求めよ。 (92.30 よって 惷の 218 例題 22 発展問題 mが実数全体を動くとき、 次の2直線の交点Pの軌跡を求めよ。 x+my-1=0, 指針 2直線の交点の軌跡 mx-y+2m=0 →2直線の方程式からmを消去して,x,yの関係式を導く。 解答 2直線の方程式を変形して □ 2 my=1-x ・・・・・・ ① 215 y=m(x+2) ...... ② 点Pの座標を (x,y) とすると, (x, y) は ① ② を満たす。 [1] y=0 のとき 2 すなわち < 5 これと⑤ から, 点M は, 直線 x= (2) 求める領域は直線y=3x+5 およびその上側 の部分である。 すなわち, [図] の斜線部分である。ただし, 境界 線を含まない。 ①から m=l-x の部分にある。 逆に、この図形上の任意の点M (x, y) は, 条件 を満たす。 (2) (1) したがって, 求める軌跡は すなわち, 〔図] の斜線部分である。 ただし, 境界 線を含む。 0 O 5 3 直線x=1/2のy< 21/2の部分 21 2直線の方程式を変形して y=m(x+5) ..... ① -my=x-5 ② Pのを(x, y) とすると,(x,y)は①,② (3)不等式を変形するとy=1/2x-2 満たす。 x-5 y=0のとき、②から m=- y これ①に代入して y 1-5(x+5) よって、求める領域は直線 y=1/2x-2およびそ の下側の部分である。 すなわち, [図] の斜線部分である。 ただし, 境界 y これを②に代入して x²+x+y^2=0 ...... ③ ③ において y=0 とすると x=1, 2 よって, y=0 のとき, 点Pは,円 ③ から2点 (1,0), ( にある。 2 [2] y=0 のとき ①から x=1 x = 1, y=0 を②に代入すると m=0 ゆえに, 点 (1,0)は,m=0のときの? [1] [2] から、点Pは,点 (120)を中心 いた図形上にある。 逆に、 この図形上の 圏点 (1/20) を中心とし、半径 ゆえに y=1-x(x+2) y すなわち(x+12/22+y=1/1

（3）が分かりません。 なぜd1、d2、d3を足した直線であるLと円が共有点を持つのですか？

6 座標平面上に3点A(4, 1), B(0, 4), C(0,1) を頂点とする三角形ABC がある。 (1)直線AB の下側の領域 (境界線を含む)を表す不等式を求めよ。 (2) 三角形ABCに内接する円の方程式を求めよ。 (3)(2)で求めたの周上の点をPとし、点P と辺BC, CA, AB の距離をそれぞれd, d2, ds とする。 L=d+d2+d のとり得る値の範囲を求めよ。

CEFDBAの順に塗っても答えは同じになりますか？ 教えて欲しいです🙇

356 重要 例 16 塗り分けの問題 (1) 領域が右の図のように6つの区画に分けられている。 境界 を接している区画は異なる色で塗ることにして, 赤・青・黄・白のB 4色以内で領域を塗り分ける方法は何通りあるか。 [類 東北学院大] 基本7 D A 0 指針 塗り分けの問題では,まず 特別な領域 (多くの領域と隣り合う, 同色が可能)に着 目するとよい。 この問題では,最も多くの領域と隣り合うCD でもよい)に着目し C→A→B→D→E→F の順に塗っていくことを考える。

最後の解がYとXを使って表していたものがyとxを使って表されているのはなぜですか？

⑤ 図形と方程式 よって, 【III型 選択問題】(配点 40点) 0 を原点とする xy 平面上に, 0 と異なる2 点P(x, y), Q(X, Y) があり、 X X= x2+y2 =x(x2+12), Y= y =y(X2+12). x+y^ 1,2 (X, Y) =(0,0)より, X= XC x2+y2 Y = y x+y を満たしている. であるから, X2+Y=0 ((1) X2+Y2 を x, y を用いて表せまた, x, y を X, Y を用いて表せ. (2) 連立不等式 x= X X2+Y20 2 y= (x-1)+(y-1)≦2, Y X2+Y2. ... 3 【(x+1)+(y-1)^2 (2)(i) (1) より により表される領域から0を除いた部分をD とする. x2+y2= 1 X2+12 ④ である. (i) PD上を動くとき Q が動いてできる 領域を求め、図示せよ. (ii) a を正の定数とし, 点 (0, α) をAとす る. PD上を動くとき, 線分の長さの比 AP すなわち, の最小値をαを用いて表せ。 OP (x-1)+(y-1)^2, l(x+1)+(y-1)^≧2 [x2+y^2(x+y)≦0, [x2+y^+2(x-y)≧0 ② ③ ④ を代入すると, 【配点】 10点 (2)30点 (i) 14点 (i) 16点. 《設問別学力要素》 大問 分野 内容 配点 小間 配点 知識 技能 思考力 判断力 表現力 5 図形と方程式 40点(1) 10 O (2Xi) 14 O (2)(ii) 16 出題のねらい 1 X2+12 -2. X+Y 82+12 ≤0, 1 X2+Y2 ・+2・ X-Y X2+12 ≥0. ① より X2+Y°>0であるから, 1-2 (X+Y) ≦ 0, [ 1+2 (X-Y)≧0 すなわち, ある領域上を動く点Pについて 対応する点 Q が動く領域を求め図示することができるか, 線 分の長さの比を2点間の距離に書き換えて考察で きるかを確認する問題である. y=-x+1/2 YsX+, ((X,Y)≠(0,0)を満たす.) したがって, 求める領域は、 -x+ 解答 x (1) X=- Y y より, x+y x+y 12 XC + x+ x" + 2 +y (x2+y2)2 x+ により表される領域であり、図示すると次 図の網掛け部分になる. ただし, 境界はす べて含む.

数Iです。 写真の問題についてなのですが、グラフとx軸の正の部分が異なる2点で交わる条件に軸＞0があるのはなぜですか？ [1]は実数解が2個あることを示しているのはわかるんですが、正の部分にあるということは[3]で示せばよくないですか？ どなたか解説を宜しくお願いします🙇

応用 例題 10 なる2点で交わるように,定数mの値の範囲を定めよ。 2次関数 y=x2-2mx-m+2のグラフとx軸の正の部分が異 [解説] グラフの軸の位置, グラフとy軸の交点の位置などに着目する。 y |x=m 解 この関数の式を変形すると y=(x-m)-m-m+2 グラフは下に凸の放物線で, そ の軸は直線x=mである。 -m+2 m 0 x グラフとx軸の正の部分が異 なる2点で交わるのは,次の [1] [2] [3] が同時に成り立 つときである。 [1] グラフと x軸が異なる2点で交わる。 [2] グラフの軸がy軸より右側にある! [3] グラフとy軸の交点のy座標が正である。 [1] より 2次方程式x2-2mx-m+2=0の判別式をDと すると,D>0であるから (-2m)-4-1-(-m+2)>0 4(m+2)(m-1)>0 012108+- すなわち よって m<-2, 1<m ① [2]から m>0 ② Jed [3]から -m+2>0 よって m<2 ③ (3) -3- ① ② ③ の共通範囲を求めて 1 <m<2 練習 数 2 -2 2012 m