係数に虚数を含む2次方程式の解
xの方程式(i+1)x+(k+i)x+ki+1=0 が実数解をもつとき,実数kの値を求
例題40
OOO00
係数が実数のときに限る。 そこで, 実数解を α として (i+1)α?+(k+i)a+ki+1=
めよ。ただし、?=-1とする。
(類専修大
基本35
iについて整理して (α?+kα+1)+(α?+α+k)i=0
ここで,複素数の相等条件 A, Bが実数のとき A+Bi=0→A=0
を利用する。
解答
方程式の実数解をx=αとすると
iについて整理すると
Da°+ka+1, α"+α+kは実数であるから
+ka+1=0
0, α2+α+k=0 ·
の
AA, Bが実数のとき
A+Bi=0
O-2から
よって(R-1)(αl1)=0
[1] k=1のとき, ①, ② はともに
判別式をDとすると
D<0であるから, αは虚数解となり, 条件に適さない。 - (α+-+2
[2] α=1のとき, ② から k=-2
(R-1)α+1-k=0
ゆえに k=1 または α=1 SA=0, B=0
Q?+α+1=0
D=1°-4·1·1=-3
36,+13
(AC)
「実数 αに対して
3
これは0も満たす。
であることから,示し
したがって
k=-2
よい。
別解 [O, 2を導くところまでは同じ]
2から
| 0
k=-α?-α
これは,高次方程式(c
次方程式)。
高次方程式の解法は、
のに代入して整理すると
Q-1=0
ゆえに
(α-1)(α+α+1)=0
2
3
1
α+
2
αは実数であるから
4
以後を参照。
よって
α-1=0 すなわち α=1
このとき,3から
k=-2
