66 平面の方程式
点A(1, 2, 4) を通り, ベクトル n=(13, 1, 2) に垂直な平面をaと
する。平面αに関して同じ側に2点P(-2, 1, 7), Q(1, 3, 7) がある。
(1) 平面aに関して点Pと対称な点Rの座標を求めよ。
(2) 平面α上の点で, PS+SQを最小にする点Sの座標とそのときの最
小値を求めよ。
(鳥取大)
解答
(1) 点Pから平面aに下ろした垂線の足をHとすると, PH/n であるから,
P
PH=kn (kは実数)
とおける。これより, OH-OP3kn となるから,
…の
OH=OP+kn=(-2-3k, 1+k, 7+2k)
であり,H(-2-3k, 1+k, 7+2k) である。
ここで,平面aは, A(1, 2, 4) を通り,
n=(-3, 1, 2) に垂直なので, 平面aの方程式は,
(-3)(x-1)+1-(yー2)+2(z-4)3D0
H
A
R*
.-3x+y+2zー7=0
Hは平面a上の点なので, ②を満たす。 よって,
解説講義の(*)で紹介している
「平面の方程式」 である
…2
-3(-2-3k)+(1+k)+2(7+2k)-7=0
H(-2-3k, 1+k, 7+2k) を②に代入
した式が成り立てば, Hは平面 a上に
14k+14=0
ある
k=-1
ゆえに, ①より, OH=(-2+3, 1-1, 7-2)=(1, 0, 5) となる。
さらに, Hは繰分 PRの中点なのでOH=→(OP+OR) が成り立ち、
OR=20H-OP=2(1, 0, 5)-(-2, 1, 7)=(4, -1, 3)
したがって, 平面aに関して点Pと対称な点Rの座標は, R(4. -1 2)
そ山田しないでロを 並める一 レ
