重要 例題 102 放物線と円の共有点・接点
放物線y=x2+αと円x2+y2=9について,次のものを求めよ。
(1)この放物線と円が接するとき,定数aの値
(②2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
名
156
指針 放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針
共有点 実数解 接点重解
解答
x2=y-a
(1)y=x2+αから
これを x2+y2=9 に代入して
よって
x2+y-a-9=0
ここで, x2+y2=9から
[1] 放物線と円が2点で接
する場合
2次方程式 ① は ② の範囲
にある重解をもつ。
よって, ① の判別式をD
とすると
D=0
D=12-4・1・(-a-9)
で考えればよい。
この問題では, x を消去して, yの2次方程式 (y-a)+y2=9の実数
解,重解を考える。放物線の頂点はy軸上にあることにも注意。
(1) 放物線と円が 接する とは,円と放物線が共通の接線をもつこと
である。この問題では,右の図のように,2点で接する場合と1点
2点で接する
で接する場合がある。
(2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たすαの値の範囲を見極める。
(y-a)+y²=9
①
x2=9-20
[1]
......
a=-
a=-
y
3
O
9
37
4
13
37
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点 (0, 3), (0, -3) で接する場合で
以上から、求めるαの値は
37
±3
4
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは、右の図
ゆえに
[2]
=4a+37
10004 37
であるから 4a+37= 0 すなわち α=-
4
このとき, ①の解はy=-1となり,②を満たす。
x
a=±3
-3≤y≤3
a=-3
YA
3
O
00000
▲ x を消去すると,yの2次
方程式が導かれる。
3
基本95
1点で
接する
3
y=-
a=3
WA
-3 0
-3
カ
2次方程式
by2+gy+r=0 の重解は
9
2p
頂点のy座標に注目。
ま