問題186 余事象じゃダメなのですか

問題編 184 ☆☆☆☆ 185 ☆☆☆☆ 186 ☆☆★★☆☆ を 解答編 p.315 0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字の中から異なる4個の数字を選んで4桁の整数 くるとき, 次のような数の個数を求めよ。 (1) 5の倍数 (2)9の倍数 あと少しい 食べ (B 1から7までの整数をすべて並べるとき,次のような並べ方は何通りあるか。 1 1,2が隣り合い, 5, 6, 7がすべて隣り合う (2)両端と真ん中の数が奇数である(3)1と7の間に2つ以上の数がある 1から9までの数字を1列に並べるとき, 次の並べ方はいくつあるか。 (1) 3の倍数が隣り合わない (2)奇数偶数が交互に並ぶ (S)( 大) 187 10から999までの整数の中で,少なくとも2つの位の数字が同じであるような 整数はいくつあるか。 188 ACTION の 6 文字から異なる4文字を使ってできる順列をアルファベット順 ★★★☆ の辞書式に配列するとき、次の問に答え (1) COIN は何番目の文字列か。 (2) 215番目の文字列は何か。 201 189 A組5人, B組4人, C組3人, D組2人の合計14人の生徒が円形に並ぶとき, ☆☆☆☆☆ それぞれの組の生徒が続いて並ぶ並び方は何通りあるか。 (1) 190 父母と子ども6人の合計8人が円卓に座るとき, 父母の間に子どもが1人だけ 入る座り方は何通りあるか。 191 赤球, 白球, 青球がそれぞれ1個ずつある。これらをそれぞれ A, B, C, D, E の5つの箱のいずれかに入れるとき,その入れ方は何通りあるか。 ☆☆☆☆ 1927個の異なる色の球を1から3までの番号の付いた箱に入れるとき,どの箱も 空でないように入れる方法は何通りあるか。 ☆☆☆☆ 章 15 15 順列と組合せ 720 =288 + 7.2 120 2 2 ② 全て 5040 となり合う 6:x2!=1440 1つる 5:x2:×5=1200 [P186 88 41 240 25 120 15040 4P3、41=432.24 2640 4:00 24 22 44 24 196 48 546 23456789 (すべて9:362880 となり合う 71×31=30240 362880-30240 36 362880 30240 =332640 32640 24

(B)は重複順列の問題ですが、2枚目の二式みたいに取り出すだけと考えて解いてしまいました。戻すことで順番が生まれてしまうってことですか？

赤球4個,白球3個が入っている袋の中から、 以下のように球を取り出して 色を4回記録する. そのとき, 赤と白が2回ずつ記録される確率を求めよ. (A) 「1球取り出し, 色を記録して袋に戻さない」 ことを4回繰り返す (B) 「1球取り出し, 色を記録して袋に戻す」ことを4回繰り返す

なんで、赤で囲ってるようにならないんですか？

(3) 練習問題 4 ら3個の球を取り出すとき (1) 袋の中に, 赤球4個, 白球3個, 青球2個が入っている.この袋の中か 3種類の色が取り出される確率を求めよ. 少なくとも1個の青球が取り出される確率を求めよ. (2) 赤と白の2種類の球が取り出される確率を求めよ.

この問題で全体から隣り合う数を引いて求めようとしたのですが、答えが合いません

18710 から 999 までの整数の中で,少なくとも2つの位の数字が同じであるような 整数はいくつあるか。 vy v V せ 解答編 p.315 184 0, 1,2,3,4,5の6個の数字の中から異なる4個の数字を選んで4桁の整数 ☆☆☆☆ を 185 Kるとき,次のような数の個数を求めよ。 (1) 5の倍数 (2)9の倍数 あといい 1から7までの整数をすべて並べるとき,次のような並べ方は何通りあるか。 (1)1,2が隣り合い, 5, 6, 7がすべて隣り合う (2)両端と真ん中の数が奇数である 720 ・ 全て 5040 (3)17の間に2つ以上の数がある (2) 1861から9までの数字を1列に並べるとき,次の並べ方はいくつあるか。 ★★☆☆ (1)3の倍数が隣り合わない (2)奇数偶数が交互に並ぶ となり合う 6:x2!=1440 1つる 5:x2:×5=1200 奴 4P3、41=432,24 288 02 120 2 Z 240 126 04 264 24 7 0 0 0 4 24 24 196 96c 48 546 問18623456789 176 (1) COIN は何番目の文字列か。 188 ACTION の 6 文字から異なる4文字を使ってできる順列をアルファベット順 の辞書式に配列するとき,次の問に答えよ。 川すべて9:362880 てなり合う 71×31=30240 362 (2)215番目の文字列は何か。 189 A組5人, B組4人, C組3人, D組2人の合計14人の生徒が円形に並ぶとき, ★★☆☆ それぞれの組の生徒が続いて並ぶ並び方は何通りあるか。 190 父母と子ども6人の合計8人が円卓に座るとき,父母の間に子どもが1人だけ 入る座り方は何通りあるか。 191 赤球, 白球, 青球がそれぞれ1個ずつある。これらをそれぞれ A, B, C, D, E の5つの箱のいずれかに入れるとき,その入れ方は何通りあるか。 1927個の異なる色の球を1から3までの番号の付いた箱に入れるとき,どの箱も 空でないように入れる方法は何通りあるか。 章 362880-30240 362880 901 15 順列と組合せ 30240 =332640 332690 3

P63 13 この問題において、赤丸の345は何故かけているのですか教えて下さい。

13 赤球を取り出すことを R, 白球を取り出すことを W と表す。 終了までに球を取り出す回数は (i)3回(「RRR」 または 「WWW」) (ii) 4回(「*** R」(*** は R2 回, W1 回) または 「 * * *W」 *W」(* * *は W2回, R1 回)) (Ⅲ) 5回 (「* * * *R」 (* * * * は R2 回, W2回) または「****W」 ( * * * * は W2回, R2回)) のいずれかである。それぞれの起こる確率を D3, D4, Ds とする。 袋から1個の球を取り出すとき 4 赤球である確率 = 6 白球である確率 2|6 = 2|31|3 であるから (2) Þ3 = + 3 p4 Þ5 1 1² 2 12 3 3 9 27 A = c/ \ I \ + c _ C 3 /2 = ₁ C₁ / 2² \ ² / 4C2 3 33 したがって, 求める期待値は 9 10 27 3× +4× +5× 27 C 8 107 = (回) 27 27 10 = 1\/2\' = 3 3 27 + +C 1\/2 8 - 3 3 27

p63 12 この問題において、青丸の部分の求め方を教えて下さい。

|,, 緑,紫の5個の球を円形につなぎ合わせて首飾りを作るとき, 何通りの作り方があるか? 章 f, g 字を1列に並べるとき,次のような並べ方 P63 (2) a,b, のどれもが隣り合わない。 a,b,c の文字が,aがbより左,bがcより左に並ぶ。 袋の中に赤球4個と白球3個が入っている。 袋から同時に2個の球を取 り出し,色を調べてから袋に戻す。 これを3回繰り返すとき、取り出さ れる赤球の総数がちょうど4個となる確率を求めよ。 ある製品が不良品である確率は3%であり,この製品の品質検査では, 良品を良品と正しく判定する確率が99%であり,不良品を不良品と正 しく判定する確率が99% であるという。 このとき, 次の確率を求めよ。 (1) この製品が品質検査で不良品と判定される確率 (2)不良品と判定された製品が本当に不良品である確率 場合の数と確率 P1311不良品である事象をA、不良品と判 定される事象をBとおく。 (1)不良品と判定されるには (1)不良品が不良品と判定 (i) 良品が不良品と判定 P(A). 3 P(A) [00 100 PA(B) 99 P(B)= 100 P(A(B) P(A) PA(B) H 100 (i)のときはAnB, (ii)のときは ACB。 P(B)=B+ANB =Pa)×PA(B)+P(6)PA(B 原点から出発して数直線上を動く点Pがある。 点Pは,1枚の硬貨を 投げて表が出ると + 2 だけ移動し、 裏が出ると + 1 だけ移動する。 この とき、次の間に答えよ。 (1) 硬貨を4回投げて, 点Pが4回目に座標5の点にちょうど到達する 確率を求めよ。 3 99 97 100 100 100 (2) 点Pが座標 3以上の点に初めて到達するまで硬貨を投げる。このと 投げる回数の期待値を求めよ。

pp60 (2) 青丸で示したようにAの上にバーがつくにはなぜですか

と白球1個を取り出す場合 Aから赤球を2個取り出す確率は 2C2 1 5C2 = 10 Bから赤球1個と白球1個を取り出す確率は 3C1 × 4C1 4 7C2 7 したがって,このときの確率は 20 (2)1人目と同じ箱を選んだときに,当たりくじ 引く確率は 1人目と異なる箱を選んだときに,当たりくじ いから を引く確率は 3 PE(A)× PE(A) 10 5 3 - 1/2 × 1/2+1/+ × 10/15 10 3 510 = 0.375 8 したがって, 1人目と異なる箱からくじを引く 場合のほうが,当たりくじを引く確率は大きい。 82個のさいころを投げ PE(A)× × || 58 1386 4 (+PE(A) 29 29 38 0.36111･･･ 13/16 詳細解答 233 52= 25 (個) (ii) 百の位に3がくる場合 十の位に3または4がくる場合は,一の位は, 5つの数字の何がきてもよいから 2×5=10 (個) 十の位が2の場合は,一の位は1以上の数がく ればよいから 4個 したがって 10 + 4 = 14 (個) (i), (ii)より, 全部で 25+14= 39 (個)

(3)について確率を使って解いてみましたが答えが違いました。 どこが違うのでしょうか。 (2枚目の分母に書いてある楕円は、16•15•14•13のことです。)

018 For 2 2 場合の数の比で求める / 同じモノを含む 箱に,赤球6個, 青球7個, 白球3個の合計16個の球が入っている. この中から同時に4個の球 を取り出すとき, (1)4個とも赤球である確率は □である。 (2) 赤球を含まない確率は 」である. (3)取り出した球の中に,どの色も入っている確率はである。 (4) 赤球と白球を含む確率は 」である. (松山大経) 同色の球でも区別するのが基本 この例題の16個の球から1個を取り出すとき, 赤球である確率 は (1/3ではなくて) 6/16 である. この例であれば,「分母の16は球の総数。 つまり、同色の球でも区 別して,区別された1つ1つが等しい確率で取り出される(同様に確からしい)」 と自然に考えられるだ ろう. 取り出す個数が増えても同じで、すべての球を区別して取り出す球の組合せ ( 並べる場合は順列) の1つ1つが同様に確からしいと考えるのが原則である。 (3)①1,2℃のとこを考える 解答 ②全てを教えあげ(かみにブリーカート) (4) 赤球6個,青球7個,白球 3 個の 16個をすべて区別すると、取り出す4個の組 合せは16C 通りあり、これらは同様に確からしい。 6C4= =- (1) 赤球6個から4個を取り出すとき, その組合せは通りあるから, 6C4 求める確率は 6.5.4.3 3 3 364 16C,= 16-15-14-13 2・14・13 (2) 赤球以外の10個から4個を取り出す場合であり,その組合せは 10C 通り 分母分子に4! をかけた。 先に1つ わりング ④⑥ ① 10C4 ある. よって, 16C4 10-9-8-7 16・15・14・13 3 3 2-13 26 ⑤ ⑥ ①② (3)どの色の球を何個取り出すかで分類すると, 6.5.1 個数は2, 1, 1 (i) 赤2個, 青1個, 白1個のときは6C2×7×3=3・5・7・3通り 11 (i) 赤 1個, 青2個, 白1個のときは6×7C2×3=6・7・3・3通り 1.76.1 ここで計算してしまわない方が よい。 (Ⅲ) 赤 1個, 青1個, 白2個のときは6×7×3C2=6・7・3通り 以上より, 求める確率は 気になる=関係ない=前のえらび足に依存しない たし 4! 32-7(5+6+2) 16-15-14-13 4-3-2-32 16-15-2 9 20 7(5+6+2)=7-13で約分 3-5-7-3+6-7-3-3+6-7-3 16C4 (4) (3) に青球を含まない (赤球と白球を含む) 場合を加えればよい.これは, 青球以外の9個から4個を取り出す C 通りから赤球だけの通りを除けば よく, この場合の確率は 9C4-6C4_9・8・7・6-6・5・4・3 3-7-6-5-3 111 白球は3個しかないので白球4 個の場合はない。 ←24で約分 16C4 16･15･14･13 2-5-14-13 2.5-14.13 9 よって, 答えは + 20 111 2-5-14-13 9.91+111 20-91 930 20-91 182 93 ・9/2 演習題 (解答は p.46) 1から15までの整数が1つずつ書いてある15枚のカードから3枚を抜きとるとき そ の3枚に書いてある数の和をェ, 積をyとする. (1)ェが偶数である確率は, (2) ェが3の倍数である確率は, (3)yが3の倍数である確率は, (4) yが4の倍数である確率は, (1) は奇数が0枚か2 枚. (2)は1~15を3で割っ である. 1である. である. である. (法政大工) (3) は余事象 . た余りで分類しておく. あまりない つくれる! あるので 35

以下の問いで、順番を考慮しなく、何回も選べることから重複組み合わせの問題かと思いましたが、重複順列の問題でした。 みなさんはどうやって判断しているんですか？ ー

(3) 箱の中に赤球と白球と緑球が1球ずつ入っている. この中から 1球取り出して色を記録し元に戻す. これを5回繰り返したとき, 記録された色の種類が3種類である取り出し方は何通りあるか.

207 青線のところが何故そうなるのかわからないです

☆ 場 D 207 同じものを含む円順列・ じゅず順列 80★★★☆ 赤球1個, 白球2個, 青球4個の計7個の球がある。 (1) これらの球を円形に並べる方法は何通りあるか。 (2)これらの球にひもを通して首飾りを作る方法は何通りあるか。 同じ色の球を含むから,単純に (7-1)! とはできない。 (1) ReAction 回転して同じ並び方が含まれるときは, 1つを固定して考えよ 例題189 赤球1個,白球2個,青球4個のうち、どの球を固定するとよいか? (2)首飾り裏返して同じになるものが含まれる。(じゅず順列) 今のプロセス (1)の場合の数 単純に としてはいけない。 2 場合に分ける 左右対称である (1) 7個の球を 円形に並べる 左右対称でない (1)の中に裏返して 同じものは含まれない。 (1)の中に裏返して 同じものが含まれる。 Action » 同じものを含むじゅず順列は,左右対称と非対称に分けよ (17個の球を円形に並べる総数は,1個の赤球を固定し て考えると、白球2個, 青球4個を1列に並べる順列の 1個しかない赤球を固定 6 することで,回転して同 じものがなくなる。 章 15 順列と組合せ 総数と一致するから 6! 2!4! = =15(通り) (C) (2)(1) の順列のうち, 左右対称であるものは、白球1個, 青球2個を1列に並べる順列の総数と一致するから 左右対称で あるものは, 赤球を通る 3! =3(通り) 2! ?! 対称軸の右 よって、 左右対称でないものは 15-312(通り) このうち, 首飾りを作ったとき, 裏返して同じものが 2つずつあるから,首飾りの数は 12÷2=6(通り) したがって,求める首飾りの総数は 半分 (左半分)の並べ方を 考えればよい。 例えば 赤 3+6=9 (通り) Point.. 同じものを含むじゅず順列を求める手順 ① 円順列の総数を求める。 1個だけの球などを固定して考える。 ② ①のうち,左右対称となる円順列の数を求める。 は裏返すと同じもの。 ③ 左右対称でない円順列の数(①の個数) (②の個数)を求め, 2で割る。 ④ 求めるじゅず順列の数は、②の個数)+(③の個数)である。 207 赤球1個, 白球4個, 青球6個の計11個の球がある。 (1)これらの球を円形に並べる方法は何通りあるか。 (2)これらの球にひもを通して首飾りを作る方法は何通りあるか。 379