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基本例題112 群数列の応用
2 3 4 5 6
7
8
4
4'4'
1'2'2
9
,
9
3'3
3
初項から第210 項までの和を求めよ。
指針 分母が変わるところで区切りを入れて, 群数列として考える。
分母 : 12,23, 3, 34, 4,4,45, =1−1+s()
1個 2個
3個
4個
第 n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。
10 11
4'5'
まず, 第210 項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
n=15-(1-5)+(I
第1群から第n群までの項数は
...... の分数の数列について,
() + +
分子: 12,3|4,5,67,8,9,10|11
(1(1).
分子は,初項 1,公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子は等
しい｡
解答
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
9 10 11
12 34 5 67 8
1 2' 23'3'3
4,
4'4'45'
1+2+3+…....+n=n(n+1)
=1/12/1₁
第210項が第n群に含まれるとすると
(n-1)n <210≤ n(n+1)
ゆえに 求める和は
[類 東北学院大]
era H
よって
(n-1)n<420≦n(n+1)
①
(n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 であるから,
① を満たす自然数nは
TELK
n=20
また,第 210 項は分母が 20 である分数のうちで最後の数であ
る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
½¼_n[2·{{_n(n−1)+1}+(n−1)•1]÷n=n²+
さるすべるより
108=2-(1-5)+ | [+]
1
20
1/20･21･41
=
2*² + ¹ - ¹ (2*² + 2¹) - 2 (20-21.41 +20)
2 k=1
k=1
k=1
=1445
もとの数列の第k項は分
子がんである。また,第k
群は分母がんで k個の数
を含む。
これから第n群の最後の
1/2n(n+1)
数の分子は
基本111
1
21270-100
20-21=210
は第n群の数の分子
の和→ 等差数列の和
n{2a+(n-1)d}
