数列{an}の初項から第n項までの和S" が, S=2a-nであるとき, {an}の一般項を求
例題14
めよ｡
|解答 Si=2a-1より
a₁=2a₁-1
よって
a₁ =1
an+1=Sn+1−S" であるから, 与えられた関係式より
これより
この漸化式を変形すると
an+1+1=2(an+1)
したがって,数列{an+1} は初項 α+1 = 2,公比2の等比数列であるから
an+1=2.2n-1
すなわち
a₂=2"-1
an+1={2an+1−(n+1)} -(2a-n)
an+1=2an+1-2a,-1
すなわち
79 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を, bn=an+1 - a とおくことにより求めよ。
(1) * a1=1, an+1=2an+n-1
条件から
=
an
antz
辺々を引くと antz
bn
・これを変形して
anti-
anti = zanth-l
S
az
=2an+1+h
-
=1+
-
a₁ + E
12=1
anti
an とおくと
buti
ここで
=za,+1-1=2だから
b₁+1 =
(az-a)+1=(2-1)+1
よって、数列{bn+1} は初項2、公比2の等比数列だから
bn+1=
2.24-1
an+1=2an+1
= 2h
buti
=zlanti-an) +1
2bn +1d
すなわち bm=
2" - 1
数列{bn}は数列an〕の階差数列だから
uz zne &
=
69
= 2 (bn +1
+1)
2k-1)
2 (2-1)
2-1
- (4-1) = 2" -n
初項はム、こだからこの式はh=1のときも成り立つ。
よってan=ズーム
= 2
