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和から等比数列の決定
例題12
公比が3,初項から第6項までの和が728の等比数列の初項を求めよ。
00000
(2) 初頭が2,公比が3, 和が242である等比数列の順数を求めよ。
(3) 初項a,公比がともに実数の等比数列について、 初項から第n項までの
和をすると, Sa = 3, S627 であった。このときの値を求めよ。
(3) 大阪工大]A33 基本事項 1
SOLUTION
CHART
等比数列の決定 まず初項αと公比r
和が与えられた問題では、数々についても考える。
の値が与えられていないので, 和の公式を使うとき,r=1 と キ1 に分けて考える
(1),(2),(3)
(3)
必要がある。
解答
(1) 初項をaとすると、条件から
よって, α(1-729)=4･728 から
( 2 ) 項数をnとすると,条件から
3-1=242
ゆえに
したがって, 項数は
n=5
これに ① を代入すると
よって
r3=8
r=2, ① から
all-(-39).
a=-4
2(3-1)
3-1
すなわち
a=
SHOREH?
(3
S3=3a, S6=6a
(3) r=1のとき
3a=3,6a=27 を同時に満たす α は存在しないから不適。
a(³-1)
r-1
F"(x + a(rº-1) FUR
......
②
y=1のとき, S3=3 から
また, S6 = 27 から
1=27
r-1=(x3)2-1=(x-1)(23+1) であるから,②より
a(r³−1). (r³+1)=27
r-1
-=728
-=242
3"=35
-=3
3(3+1)=27
rは実数であるから
r=2
(1) 公比 3. 項数
n=6の等比数列の和が
728 である。
S₁ = a (x²-1)
243-35
←
等比数列の和の公式を
使うときは、まず、公比
rが1であるかどうか
を調べる。
a(r³-1)
r-1
の
2
7a=3
W
-•(³+1)=27
に3を代入
PRACTICE 12②
第3項が 12, 第6項が-96である等比数列 (公比は実数) において, 第7項
は 3072 であり,初項から第
項までの和は513である。
実数 r>0 を公比とする等比数列 an = ar”-1 (n=1,2,....) において,初項か
ら第5項までの和は16で、第6項から第10項までの和は144 である。このとき,
第11項から第20項までの和を求めよ。 001J
[愛知]
