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例題83 文字係数の方程式の★★★☆
次のxについての方程式を解け。
(I)
(1)x+(a-2)x-2a=0 (2) ax²-2x-a=0(3)dx-2ax+a=0
(2)(3)問題文では,単に 「方程式」 となっており、2次, 1次方程式とは限らない。
場合に分ける
思考プロセス
(x2の係数) = 0 のとき
1次方程式を解く
(2)
(x2の係数) ≠0のとき
2次方程式を解く (例題 82参照)
。
いる。
-2
3
1
Action » 最高次の係数が文字のときは、0かどうかで場合分けせよ
(1)x2+(a-2)x-2a=0より
例題
よって
10
x=2, -a
(2) (ア) α = 0 のとき,この方程式は
The
これを解くと x=0
(イ)
α = 0 のとき, 解の公式により
(x-2)(x+a)=0x2+(a+B)x+αB = 0
exe
-2x = 0
__(−1)±√(−1)-α(-a) 1±√α° + 1
x=
a
==
+1>0より, これは解として適する。
a
最小公
て,各
fa = 0 のとき
x=0
。
解)
から、
SB
(ア)(イ)より
1 ±√2+1
a = 0 のとき
x=
(3) ax-2ax+α = 0 より
a(a-2)x=-a
あるか
- ac
のとき
(x+α)(x+β)=0
a = 0 のとき,与えられ
た方程式は1次方程式と
なる。
2次方程式
ax2+26′x+c=0
の解は
x=
6' ±√b2-ac
(ア) α = 0 のとき,この方程式は 0.x = 0
よって、 すべてのxで成り立つから, 解はすべての実数。
(イ) α = 2 のとき,この方程式は 0.x = -2
a = 0 の可能性があるか
ら,いきなり両辺をαで
割ってはいけない。
3
章
2次関数と2次方程
この式は成り立たないから,解はない。
(S)
照。
(ウ) α = 0, 2 のとき x=-
1
a-2
1
2-a
Mod
Job
a(a-2) ≠0 より 両辺
をα(a-2) で割って
a = 0 のとき
(ア)~(ウ)より
|a=2のとき
すべての実数
解なし
09-
a
x=
a(a-2)
な
1)=
1
1
a-2
2-a
a = 0, 2 のとき
x=
2-a
Point...文字係数で場合分けする方程式の解法
方程式の最高次の係数が文字のときは,その値が0かどうかで場合分けする。
最高次の係数が0のとき,(3)のように,解がすべての実数となる場合(不定)や、解な
しとなる場合(不能)もあることに注意する。
練習 83
次のxについての方程式を解け。
C
(1)x2+(3-4)x-3α = 0 ■ (2) ax2+x-a=0
(3) a²x-2=2ax-a
