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>0, 1 を満たす定数αに対して, 関数 f(x) を
f(x) = a +α-2x-2(a+α1)(a*+α^*)+2(a +αl)2
と定める。 次の問に答えよ。
(2) f(x) の最小値を求めよ。 また, そのときのxの値を求めよ。
(1) α* + αx = t とおくとき, tの最小値を求めよ。 また、 そのときのxの値を求めよ。
(1)0 0 であるから, 相加平均と相乗平均の関係より
t=ax+ax≧2vax.ax = 2
等号が成り立つのは, α = α x すなわち x = 0 のときである。
よって、x=0 のとき 最小値2
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(2) f(x) = q2x + α-2x-2(a+αl)(ax +α^*) + 2 (a +α_l)2
=(ax+ax)2-2-2(a+α_')(ax +α^*)+2(a + α_l)^
=t-2(a+a-l)t + 2 (a + α-l)2-2
={t-(a + α-')}+α+α_2
a>0,'> 0 であるから,相加平均と相乗平均の関係より
a+a¹ ≥2√√a a¹=2
よって, f(x)はt=a+α ' のとき,最小値 + α 2 をとる。
ax+ax = ata_1
このとき
両辺に α * を掛けて整理すると
(金沢大)
a2x=120=1
2x=0
x = 0
a²x +a
-2x
=(a* + a*)² -2a*a*
= (ax + α-x)^2
a+α=2となるのは
a = α すなわち α = 1
のときであるが, 条件よ
り α≠1 であるから等号
は成り立たない。
(ax)-(a+α-1)ax+1=0
(ax-a)(ax-a-l)=0
よって ax = a, a¹
すなわち x=1, -1
したがって,x = ±1 のとき 最小値α' + α 2
⑤ a を実数とし,f(x) = 4* -a2x+1+α°+a-6 とおく。
(1) f(x) = 0 を満たす実数xが2つあるようなαの値の範囲を求めよ。
(2) f(x) = 0 を満たす実数xが1つもないようなαの値の範囲を求めよ。
f(x) = 4°-a2x +1 + α + α-6 より
f(x)=(2x)2-2a 2 + ( a + α-6)
2* = t とおくと,t > 0 であり
f(x)=t-2at+ ( a°+α-6)
ここで,g(t) =t-2at + (° + α-6)... ① とおく。
(1)についての2次方程式 gt) =0 が, t>0において異なる2つの
実数解をもつようなαの値の範囲を求めればよい。
g(t)=(t-a)+a-6
VA
2
ata
(三重大)
f(x) 2次関数と
みる。
①より
よって、y=g(t) のグラフは頂点が (a, a-6), 軸の方程式がt=a,
YA
t=a
下に凸の放物線である。
軸がx軸より右側にあ
