3 漸化式と数学的帰納法 (77)
B1
題 B1.35 漸化式 antipan" たぶん次数相型
a=2, +1=4am で定義される数列{an} の一般項 am を求めよ.
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え方
漸化式がα+1 や ami などの累乗の場合や, に √ がついている場合, 10月のよう
な積の場合は,両辺の対数をとるとうまくいくことが多い。
ここでは,a の係数4(=22) に着目して, 底が2である対数を両辺にとると,
log2an+1=log2(4a)=log24+logza3 より
210g2a+1=2+310gzan
ここで, log2am=b" とおくと, 26+1=36+2となり、例題 B1.32 の形の漸化式となる.
a=2>0, an+1=4amより, すべての自然数nに対して
an>0
an+12=4am について 底2で両辺の対数をとると,
logzan+1=10g24a73
m
210gz4+1=log24+310gzan より
oga=b とおくと,
210gza+1=310gza,+2
26+1=36+2
したがって,bn+1=
本来マイナス
3
20m+1
より、これを変形すると
3
に
ここで,
b1+2=10gza1+2=10g22+2=3
下の注〉 参照
漸化式の形と初値
すべての自然につい
amであると分か
bn+1+2=2(b+2) ……①
3
①とb+2=3 より, 数列{b,+2} は,初項 3.公比の
特性方程式
3
α=24+1を解くと
α-2
21egant 3/
等比数列だから,一般項は, bn+2=3
3
3"
すなわち, bn
b-3-2-3-20
2=
-x-2
よっち
bn=10gzan=-
3"-2"
2n-1
3"-2"
X=-2
より an-2 2-1
Ocus
漸化式 an+1=pan" は両辺の対数をとる
-注> 「α」=2, am+12=4a73 のとき, すべての自然数について am>0」について
a2=4a=4.23
仮に a2= -4
bu=
3"
244-2
よって, 20
3"
2
2.244
2
34-2"
21
(1)
34-2-244
21-7
える
(
