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例題 117 連立漸化式
列{an},{bn}が次のように定められるとき,次の問いに答えよ。
α=4,b=1, an+1=3an+bm
数列{an+bn}, {an-bn}の一般項を求めよ。
数列{an},{bn}の一般項を求めよ。
CHART OLUTION
数列{an}, {bn}の連立漸化式
2
………...
PRACTICE
‥.①, bn+1=an+3bn....... ②
an+1+abn+1=β(an+αb) を導く ・・・・・･!
an (またはbm) だけの漸化式を導く
別解 ① から
これら②から
よって
解答
口 (1) ① +② から an+1+bn+1=4(an+bn)
から
数列{an+bn}は,初項 α+b=5,公比4の等比数列である
an+bn=5.4-1
④から
←
① ② から
an+1-bn+1=2(an-bn)
から
数列{an-bn}は,初項 α-b1=3,公比2の等比数列である
an-bn=3.2n-1
隣接3項間の漸化式となる。
an
(2) (1)からa=12/12(5.41+3.2 -1, 6n=1/12(5.4"
bn=an+1-3an, bn+1=an+2-3an+1
an+2-3an+1=an+3(an+1-3an)
an+2-6an+1+8an=0
これを変形すると
an+2-2an+1=4 (an+1-2an)
an+2-4an+1=2(an+1-4an)
数列{an+1-2an}は,初項a2-2a1=(3a+b1)-2a1=5, 公
比4の等比数列であるから
an+1-2an=5.4-1 ・③
数列{an+1-4an}は,初項a2-4a1=(3a+bì)-4a=-3,
公比2の等比数列であるから
an+1-4am=-3.2-1 4
an=(5-4-¹+3.2²-1)
ゆえに, ① から bn=an+1-3an = 1/12 (5.4"-1-3.2"-1)
4-1-3.2"-1)
inf. an+tab
=(an+abm)と変
ると、数列{ant ob
比数列になる。
①②から
an+1+abn+1
=(3a+bml)+clart1.
=(3+α) am+(1+301_
B=3+α, a6=1+30
(3+α)=1+30
よって α=±1
ゆえに,数列{ax+bd
{bn}は等比数列
る。
inf. CHART &
SOLUTION の口につ
て。 まず 連立漸化式
辺の和差を求めよう
の形を導けることがあ
■an+1を消去する。
117⑨ 次の関係式で定まる?つの数列{an}と{bn}がある。
