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数学 高校生

至急です! なぜ1/tになるのでしょうか? また、青線はなぜ成り立ちますか?

去 x=g(t) Tal F(x)] のとき 7 336 例題 200 定積分の置換積分法 (1) (丸ごと置換) ①①①①① 次の定積分を求めよ。 a) Sx√1-x² dx A CHART G (1) よって O SOLUTION | logx=t とおくと | (3) S T = dx ①xの式の一部をもとおき, C を求める。 dt x²=t とおくと, 1-x=2 から -2xdx=2tdt よって xdx=-tdt xt の対応は右のようになる。 ゆえに (2) 定積分の置換積分法 おき換えたまま計算 積分区間の対応に注意 ②xの積分区間に対応したもの積分区間を求める。 [③ 与式をの定積分で表し, tのままで計算する。 なお(2)は公式 (x) (2) x-2x+2=t とおくと 2(x-1)dx=dt よって (x-1)dx= x= 1/2 d xtの対応は右のようになる。 021² S²x²2x²+2x==2=1==1[10gt]; -dx= S₁ √2²²x²² x-1 x2-2x+2 -dx sin2x 3+cos2x 1 の対応は右のようになる。 S²108x dx=Stdt=[2] = 1 PRACTICE・・・ 200② 次の定積分を求めよ。 -dx dx Sx√1-xdx=S(-1)dt=S,edt=[-13 ff(x)dx=-{f(x)dx 別 (2) (与式) = 1/5² (x² - 2x + 2)² dx 2x2x+2| -[log(x²–2x+2)] |=1210g2 -dx=log|g(x)|+C を用いて計算してもよい。 -d= MOTTUJC [ 青山学院大 ] 1 (log2-log1)= log2 2 -dx=dt 0→1 1-0 (3) Salogxdx x 1→2 1→e t 0→1 Ap.310 基本事項」 1 x とおいても計 算できるが、 丸ごとおき 換える方がスムーズ。 (2) Sex (4) sin' o's dr if 定積分の置換積分は 不定積分とは異なり 変数 を元に戻す必要はない。 横浜国大 [ 青山学院大 ] 311 78 22 定積分の置換積分法, 部分積分法

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数学 高校生

なんでこうなるんですか?

(a<B) て表せ。 (2) lとCで囲まれた部分の面積の最小値とそのときのmの値を求めよ。 OLUTION OLUTION CHART 放物線と面積Sex-ar)(x-B)dx= 曲 面積は (mの2次式) となるから, まず (mの2次式) の最小値を求める。 直線lの方程式は x=m(x-2)+6 すなわち x2-mx+2(m-3)=0 の判別式をとスレ (x-a)(x-β)dx=-12(B-α)を活用 y=m(x-2)+6 D=(-m)²-4.2(m-3)=(m-42-8- とって l と C は異なる2つの共有点をもつ。 aβ (a <β) は, 2次方程式 ① の解であるから β-a=- 2 m+√D m-√D 2 (2) とじで囲まれた部分の面積を Sとすると、 右の図から で最小値 CB = -√(x²_ mx+2(m−3)} dx = f(x-a)(x-B)dx このとき s={m(x-2)+6-x2}dx程式 2)=(2 5450 =-(-1/2) (8-a)³² = 1/² (B-α) ³ (B-a)³ 6 (1) から sp -=√D=√√m²-8m+2 入して Ja PRACTICE ... 219③ をとる。 + ------- 6 α 0 S S=(√m²_8m+24)³ = ((m−4)²+8} ² ¹ ① 2β (-4)²+8はm=4で最小値 8 をとるから, Sは, m=4 8√2 3 ついて x座標をα, β x |基本 210 ←方程式 ① の実数解があ れば,それはℓとCの 共有点のx座標となる。 HARTA SI inf. β-αの計算 平 解と係数の関係を用いても よい。 α, β の値は解の公式か ら求める。 また D=m²-8m+24 α, βは①の2つの解であ るから α+β=m, aß=2(m-3) よって (B-α)²=(a+B)²-4aB =m²-4.2(m-3) =m²-8m+24 β-α>0 であるから β-α=√m²-8m+24 +1-87=1-8√/8= 8√/2 3 R39 ( fort

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