復習用例題11
を自然数とする. 座標平面上の曲線y=-nx2+2nxとx軸で囲まれた図形
を含む)をDとし, 図形D にある格子点の個数を An とする.
(1) 図形 Daの格子点のうち,座標の値がェ=k(k=0, 1, 2, 2m)である格子
の個数を Bk とする.Bをnとkの式で表せ.
(2) Annの式で表せ.
(3) 図形 D の面積をSとする. An <S となる最小のnの値を求めよ.
(近畿大)
【解答】
(1) x=k上の格子点は
(k, 0), (k, 1), (k, 2), ...,
•, (k, -nk²+2n2k)
であるから,
B=-nk2+2n2k+1
2n
A.-B.
=2B
=
A=0
=(-nk²+2n²k+1)
YA
(k, -nk2+2n2k)
y=-nx²+2n²x
x=k
•2n(2n+1)(4n+1)+2n².±·2n(2n+1)+(2n+1)
=-n°
=1/2(2n+1){-n"(4n+1)+6z°+3}
=1/2(2m
(2n+1)(2n-n2+3)
=/1/(x-
(n+1)(2n+1)(2n²-3n+3)
Sn=S-nz (z-2n)dz=n./(2n-0)
2
(3)
(2n−0)³=n
したがって,
An<S⇔ (n+1)(2n+1)(2n²-3n+3) <4n4
(2n2+3n+1)(2n²-3n+3) <4n
<>n2-6n-3>0 ....①
⇔n(n-6)>3
これよりこの不等式を満たす最小の自然数は
n=7
2n
IA
復
