364 弟早
問 165 球のベクトル方程式
空間内に3点A(a,0,0), B(0, 2a, 0), C(0, 0, 2a) をとる.ただし,
a>0とする.
(1) 2AP･BP=AP･BC をみたす点P全体は,球面であることを示し,その
中心の座標と半径をそれぞれαを用いて表せ.
(2)(1)の球面をy軸に垂直な平面で切った切り口が,xy平面とただ1点を
共有する円となるとき, この円の中心の座標と半径をそれぞれαを用いて
( * 札幌医大 )
表せ.
精講
AB を直径とする球の方程式は
です.
中心A, 半径rの球の方程式は
|AP|=r すなわち |-a|=r
AP･BP=0 すなわち (n-d) (五一)=0
解答
(1) 2AP･BP=AP･BC ⇔ AP･(2BP-BC)=0
線分BCの中点 (0, α, α) をMとおくと, (*)は
AP (BP-BM)=0 .. AP•MP=0
点Pの全体は, AM を直径とする球面であり,この球面の
/3
-a (:
中心の座標は ( 12/01/21/1)半径は1/2AM=1/24(a>0)
9
2'
IC
(2) (1)の球面:x-
(11/2+(-1)+(21)=22d² をy軸に垂直な平面y=t
で切った切り口である円の方程式は
\2
a
3
(x - 2)² + (x - 2)² = ³a²-(1-2) ² ² y = t
かつy=t
a
a²
+y
これが xy平面とただ1点で交わる円となる条件は, z=0 として得られる
の方程式
2
解法のプロセス
(1) APで式をくくる
(2) 円と平面が接する
↓
円と平面の共有点が1個
よって 求める円の中心の座標は
がただ1つの実数解をもつことである. そのようなt の値は
a
2²-(1-2)² = 0 :. t= 1± √²₁
t
a
2
a
2 "
....(*)
1±√2
2
-a,
a
2
半径は
22
