基本例題 159 図形の分割と面積 (1)
次のような四角形ABCDの面積Sを求めよ。
(1) 平行四辺形 ABCD で, 対角線の交点をOとすると
AC=10, BD=6√2,∠AOD=135°のもの」(S)
(2) AD//BCの台形ABCD で, AB=5,BC=8, BD=7,∠A=120°
解答
(1) 平行四辺形の対角線は、互いに他を2等分するから
OA=1/123AC-5, OD=1/12 BD-3√2
したがって
指針 四角形の面積を求める問題は,対角線で2つの三角形に分割して考える。
(1) 平行四辺形は,対角線で合同な2つの三角形に分割されるから S=2△ABD
また, BO=DO から △ABD=2△OAD よって, まず △OADの面積を求める。
(2) 台形の面積=(上底+下底)×高さ÷2 が使えるように, 未知の量である上底 AD の
長さと高さを求める。 まず, △ABD (2辺と1角が既知) において余弦定理を適用。
CHART 四角形の問題 対角線で2つの三角形に分割
△OAD=
D=120A-OD sin 135°
= 1/2.5-3√2-12-14/201
よって S=2△ABD=2-2△OAD(*)=4.
(2) △ABD において、余弦定理により
72=52 + AD²-2･5・AD cos 120°
=
ゆえに
よって
AD>0であるから
AD=3
頂点Aから辺BCに垂線 AH を引くと
AD² +5AD-24=0
(AD-3)(AD+8)=0
B
15
2
A
"135°
-=30
0
H
120°
7
AH = ABsin∠B, ∠B=180°∠A=60°
08.00000
D
C
よってS=1/(AD+BC)AH=1/(3+8)・5sin60°= 55,3
4
ele
p.245 基本事項 ②. 基本 158
(*) △OAB と △OAD は,
それぞれの底辺を OB, OD
とみると, OB=OD で, 高さ
が同じであるから, その面積
も等しい。
参考 下の図の平行四辺形の
面積Sは
S=1/23AC BD sino
・AC・J
B
[練習 159 (2) 参照]
D
0
A-MANA
C
<AD // BC
<(上底+下底)×高さ÷2
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4章
19
三角比と図形の計量
