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例題 41
定義域が広がるときの最大取
a>0 とする. 関数 y=x2-4x+5(0≦x≦a) について,次の問いに答
えよ.
最大値を求めよ.
考え方 グラフをかいて考えるとよい .
最大値
k2 最小値を求めよ.
4 最大
5
(1) 与えられた関数のグラフは下に凸で,軸は直線x=2 である.
定義域はαの値が大きくなるにつれて拡大して
いくので,それにともない定義域の左右のどち
らの端点が軸から遠くなるか考えてαについて
場合分けをする.そのとき, 両端点と軸からの
距離が等しいとき, つまり、定義域の中央と軸が
一致するときに着目する.
M
a=4
0
12
a
x
M
ここでは,0≦x≦a の中央 x=1 と軸 x=2が一致する場合より、1/20
=2
つまり, a = 4 のときに着目する.
(2)下に凸のグラフなので,最小値は定義域に軸が含まれるかどうかで場合分けする。
解答 y=x2-4x+5
=(x-2)2+1
(81) グラフは下に凸で,軸は直線 x=2
場合分けとグラフを
用いて考える.
EX 0 ≤ x ≤a
(1)(i) 0<a<4 のとき
グラフは右の図のようになる.
x=0 のとき最大となり,
最大
の中央=22
x=2 が一致する
最大値 5
きに着目して,
O
2 a 4 x
(ii) α=4 のとき
y
1=2つまり
2
グラフは右の図のようになる.
/ 最大
を境に場合分け
x=0, 4 のとき最大となり,
最大値 5
5
(1)x=0 の方が
イーム
P=3
(1)=(d
(ii) α>4 のとき
a=4
0
2
ax
4a+5
グラフは右の図のようになる.
x=αのとき最大となり,
最大値 α-4a+5
最大
ら遠い場合
(ii) x=αの方が
ら遠い場合
2
4 ax
よって,(1)~(Ⅲ)より,
[0<a<4 のとき, 最大値5 (x=0)
a=4のとき、
最大値5 (x=0, 4)
a4のとき、
最大値 α2-4a+5(x=α)
R
α=4のとき
のどちらかに
おいてもよ