数学的帰納法 不等式の証明です 囲ってる部分が何をやっているかわかりません 特に、右辺の各項がどこから来たかの説明をお願いしたいです よろしくお願いします🙇‍♀️

[2]n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち (k+1) 3 12 +2 +32 +....+k< 3 が成り立つと仮定する。 n=k+1のときの (A) の両辺の差を考えると (k+2)³ -{1²+2² + + k² +(k+1)²) 1x = y 3 x = y (k+2) 3 (k+1) 3 - (k+1) 2 3 3 (k+1) 3k²+9k+7 -(k²+2k+1)< 3 (4+ani+a)VS-(+S) =k+=> 0

解説の(2)(ⅲ)でan>2^(1/3)なので、1回変形しただけでも正であると言えると思うのですが、なぜ解答ではan^3が出る形まで変形しているのでしょうか。

14 不等式と漸化式 (1)x>0のとき,不等式 1/2(x+1/22) 221 を示せ、また等号が成り立つのはどのようなときか (2) 数列{a} を, a1=2, an+1= 2/3(an+1/2)(n=1,2,3,..)で定める。 1 (i) n≧1 のとき, an>an+1>2を示せ. 2. 2 2 (ii) n≧2のとき, を示せ. an+1 an 2 2 an 3 an-1 2 2\n-1 を示せ. 2 3 an (i) n≧1のとき, 0<an+1 an+1 <kan 不等式の証明 (金沢大文系) k>0,an>0のとき, an+1 <kan をくり返し用いて, am <kn-la を導くことができる。 A>Bを示すには, A-B>0 を示すことを目標にするのが基本方針. ②なり 解答量 (1) 与式の分母を払い、2-3・2332+20 これを示せばよい。 左辺を因数分解して(x-21) (2+2号) D ←t=23 とおくと, 2x3-3t2+1=(x-t) (2x+t) >0のとき ①≧0 (等号はx=23)であるから示された。 ant 3 = (a+11) (2)(i)/a>2号と(1)より,帰納的に4741= an 2 an 3-2 3an2 an 2 1 ->0 (an>23) 2 1 また, an-an+1=an- 3 ant 1 よって,amam+1 > 2 2 2 1 = 2 an 3 an 2 2 (iii) an+1) = an 2 = 2 よって,,>2/1/3(n≧1)が成り立 つ これを帰納法で示すと丁寧. (an> Ants >2} (1+4) XA-Bo 2 (日)) (ii) an+17 2 2 = an 2 2 an 3 2 an an 2 3 an an-1 ->0 (an>23) 2 an 3-2 -(-)-> 2 3 an 2 3 2 n=1のとき=1で与式は成立する.n≧2のとき (ii) をくり返し用いて, an+1 2 an 2 2 3 an 2 < an-12) n-1 a2 22 33 2 a₁2 an-1 2 An-22 n-1 ・1= 2\n-1 (号) an-1 _2 an-2 0<an <an-1より 2. 1+4 an² <an-12 2 = a2 2 a1 上式 2-3 2-3 2 2 2 an an-1 03-2 2 223-2 22 =1 2

（3）が分かりません。 どういう発想でtをこのように置いたのか。 t→＋0はどうして？

148 第5章 微分法 基礎問 81 微分法の不等式への応用 > (1)x>0 のとき,f/12+x+1 が成りたつことを示せ. (2)lim=0を示せ. (3) limrlogz=0 を示せ. +0 y=er 上の点(0, 1) における接線を 求めると, y=x+1 になります。 こ のとき,右図より y=e² が y=x+1 149 y=ez y=x+1 より上側にあります. だから, x>0では x+1,すなわち, f'(x)>0であることが わかります. -1 10 T (2)>0のとき,(1)より > 付して. r2+x+1> 2 2 IC 精講 (1) 微分法の不等式への応用はⅡB ベク 97 みです. 考え方自体は何ら変わりはありません。 ⅡB ベク 98 で学習済 ∞ lim 20 だから、はさみうちの原理より I lim=0 (2)は78に,(3)は演習問題 79 にでています。 注 解答では,x+1を切り捨てていますが, そのままだと次のように 大学入試で,これらが必要になるときは, Ⅰ. 直接与えてある (78) II. 間接的に与えてある (演習問題 79) Ⅲ. 証明ができるように、使う場面以前に材料が与えてある (81 のいずれかの形態になっているのがフツウですが, たまに, そうでない出題も あります。 だから,この結果は知っておくにこしたことはありません。もちろん, 証明 の手順もそうです.(1) や (2)で不等式の証明 (3)で極限という流れは44,45で 学んだはさみうちの原理です. (1) f(x)=- 解答 +x+1) とおく. 導関数単調なら 元も単調 プラス f(x)は常にチン なります。 0< 2x 2 x2+2x+2 より 2 x+2+ I (3)(2)において,r=log- og / とおくと,t+0 のとき,x→∞ *†, e² = elog = 1, x=-logt だから, lim(-tlogt)=limax=0 t→+0 また, lim (-tlogt)=-lim (tlogt) 1 t+0 t+0 limtlogt0 すなわち, limxlogx = 0 t→ +0 x+0 f'(x)=e-(x+1), f"(x)=e²-1 のちて分からない >0 のとき,> が成りたち, f(x)>0 接線傾きつまり f(x)の上昇、下降 したがって、f'(x)はx>0 において単調増加。 を表す! ここで,f'(0)=0 だから, x>0 のとき,f'(x)>0 よって, f(x)はx>0において単調増加. ここで,f(0) =0 だから,x>0 のとき, f (x)>0 ゆえに、x>0のとき、12++1 ポイント IC lim =0 lim log x 8 et →∞ I 演習問題 81 =0 lim xlogx=0 x+0 (1)x>0 10g を示せ. (2) lim log x I -= 0 を示せ. 第5章

この問題について 、解答と違うのですが 、この場合も 証明できてるのでしょうか？ 不等式を二乗する時は注意しなければいけませんが、 a も正 b も正なので、単純に2乗していいと思いました。

予習のための自習問題 101 a, bが正の数のとき,不等式 a+b ≥ √ab 2 が成り立つことを示せ.また等号が成り立つための条件を求めよ.

数B　数学的帰納法 (2)番、わからないです💦 どなたかできる方教えてください

練習数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 41 (1) 1+3+5+......+(n-1)=n2 (2)1・2+2・3+3・4+…+n(n+1)=1/23n(n+1)(n+2)

数学3についてです 解説を見てもよくわかりません この問題を見てどう考えたらこの解説のような解法を思いつくのでしょうか わかる方おねがいします

基本 例題 90 平均値の定理を利用した不等式の証明 平均値の定理を用いて,次のことを証明せよ。 e² 1/2 <a<b<1のときa-b<blogb-aloga<b-a ・基本 89 重要 91 平均値の定理の式は 指針 f(b)-f(a) b-a -=f'(c) (a<c<b) ① 一方, 証明すべき不等式の各辺を6-α (>0) で割ると blogb-aloga -1- <1 b-a ① ② を比較すると, f(x)=xlogx (a≦x≦b)において, -1<f(c) <1 を示せばよい ことがわかる。このように,差f(b)-f(a)を含む不等式の証明には,平均値の 定理を活用するとよい。 ★ CHART 差f (b)-f(α) を含む不等式 平均値の定理も有効 関数f(x)=xlog x は, x>0で微分可能で x>0で微分可能である 解答 f'(x) =logx+1 から,x>0で連続。 よって, 区間[α, b] において,平均値の定理を用いると blogb-aloga b-a 指針 ★の方針。 =logc+1, a<c<b を満たすc が存在する。 ・<a<b<1とa<c <bから 1/1/2 <<1 e2 各辺の自然対数をとって log <logc<log 1 e2 1 すなわち −2<logc<0 log この不等式の各辺に1を加えて f(b)-f(a) を含む不 等式については,平均値 の定理を意識しよう。 なお, 2変数の不等式の 扱いについて, p.200 で まとめている。 11/2=loge^2=-2. log1=0 −1<logc+1<1 blogb-alog@<1 よって -1< b-a この不等式の各辺に bα (0) を掛けて a-b<blogb-aloga<b-a <a<bであるから ba>0

数学的帰納法 不等式 両辺の差の計算式があいません😭‎ 途中式も詳しく回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒ また解く時のコツなどあれば教えてください🙇‍♀️

5 [青チャート数学 すべての自然数nにつ 57 不等式の証明 +3+1/17/30/ 00000 以上のすべての自然数nについて,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 3->n²-n+2 ① P.498 基本事項 「n」 であるすべての自然数nについて成り立つことを示すには、出発点を変えた 数学的帰納法を利用するとよい。 [1] n=●のときを証明。 出発点 [2]n=kk≧) のときを仮定し, n=k+1のときを証明。 本間では,n≧3 のとき, という条件であるから,まず, n=3のとき不等式が成り立つ ことを証明する。 なお, n = k +1のとき示すべき不等式は3*>(k+1)-(k+1)+2 大小比較 差を作る A>Bの証明は 差 A-B> を示す 1 CHART 数学的帰納法 nの出発点に注意 2 +1 の場合に注意して変形 [1] n=3のとき 左辺 =329, 右辺) =32-3+2=8 よって、 ① は成り立つ。 [2]n=k(k≧3) のとき,①が成り立つと仮定すると 3k-1>k2-k+2 (2) n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると,② から 3-{(k+1)-(k+1)+2} ゆえに =3.3k-1-(k2+k+2) >3(k-k+2)-(k+k+2) =2k2-4k+4=2(k-1)^+2>0 3k>(k+1)-(k+1)+2 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1] [2] から, n3であるすべての自然数nについて ①は成り立つ。 <出発点は n=3 (左辺) > (右辺) k≧3を忘れずに。 ② を利用できる形を作 り出す。 基本形を導くことによ (左辺) (右辺) > 0 が される。 指数関数のグラフについては,数学Ⅱ を参照。) 2の大小関係 関数 y=3x-1, y=x2-x+2のグラフは右図のようになる。 2つのグラフの上下関係から 3->n2-n+2 (n≥3) が成り立つことがわかる。 交点 7 12 4 01 2 y=r y=3-1 3

なぜ上の例題ではAのx座標を0としていないのに下の演習問題ではAの座標を0としてるんですか？上の問題でもAのx座標を0としたら解けないんですか？🙇‍♂️

3 33 2点間の距離 MONESA DE △ABCにおいて, 辺BCの中点をMとするとき, AB2+AC2=2(AM2+BM 2 ) が成りたつことを,右図のように, M(0,0), A(a, b), B(c, 0), C(-c, 0) (c>0) A いてせ. MO Bx 示すべき等式は「中線定理」(数学ⅠA77) です。 精講 このように、(距離)2 が含まれる等式や不等式の証明には,計算しや すいように座標軸を設定して、2点間の距離の公式 (ポイント) を 使う考え方が有効です。 AB2=(a-c)2+62, AC2=(a+c)2+62 AB2+AC2=2(a2+b2+c2) 次に, AM2=α²+62, BM²=c2 ..2(AM2+BM2)=2(a2+62+c2) よって, AB2 +AC2=2 (AM2+BM2) Ah et ポイント 2点A(x1, yi), B(Iz, y2) のとき AB=√ (12-1)+(yz-y2) 2 第3章 演習問題 33 △ABC が鋭角三角形のとき, AC2=AB2+BC2-2AB・BCcos B (余弦定理) が成りたつことを, 座標を用いて証明せよ.

数学Ⅱの不等式の証明で画像の(2)についての質問です。別解の解法の、左辺が負の時の場合分け[1]では、不等式は成り立つとありますが、この[1]の場合分けでは与式の|a|-|b|<=|a-b|の=は成り立っているのですか？

基本 例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式) 00000 次の不等式を証明せよ。 (1)|a+6|≦|a|+|6| (2)|a|-|6|≦|a-bl p.42 基本事項 4. 基本 28 CHART & THINKING 似た問題 1 結果を使う ② 方法をまねる (1)絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 |A=A2 を利用すると,絶 対値の処理が容易になる。 よって、 平方の差を作ればよい。 (2)証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから, 平方の差を作る方針は手間がかかり そうである (別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると |a|≧|a-6|+|01 ← (1) と似た形になることに着目。 ①の方針で考えられそうだが, どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか? 解 牛 (1)(|a|+|6|2-|a+b=(a+2|a||6|+16)-(a+b)2 よって =q2+2|46|+62-(a2+2ab+62 ) =2(labl-ab)≧0 (*) la+b≦(|a|+|6|)2 |a+6|≧0,|a|+|6|≧0 であるから |a+6|≦|a|+|6| 別解 -lal≦a≦|al, -66|6| であるから 辺々を加えて -(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6| |a|+|6|≧0 であるから la+6|≦|a|+|6| (2)(1)の不等式の文字αを a-b におき換えて | (a-b)+6≦la-6|+|6| よって|a|≦la-6|+|6| ゆえに |a|-|6|≦la-6| 別解 [1] |a|-|6|<0 すなわち |a|< |6| のとき (左辺) < 0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。 [2] |a|-|6|≧0 すなわち |a|≧|b のとき la-6-(|a|-161)=(ab)2-(α-2|ab|+62 ) よって =2(-ab+lab)≥0 (|a|-161)2≦la-612 |a|-|6|≦|a-6| |4|-161≧0,10-6≧0 であるから int A≧0 のとき -|A|≦A=|A| A<0 のとき -|A|=A<|A| であるから,一般に -|A|SA≦|A| 更にこれから |A|-A≧0, |A|+A≧0 c0 のとき cxcxlsc x-c, c≤x ⇒xc ②の方針。 α|-|6|が負 の場合も考えられるの で, 平方の差を作るには 場合分けが必要。 [in 等号成立条件 (1) は (*) から, lab=ab, すなわち, ab≧0 のとき。 よって, (2) は (6) ゆえに (a-b≧0 かつ60) または Cabs0 かつ 0

問題を解く時最後の「a=bの時成立」なのはなんでですか？理解できません

13 不等式の証明 (1) 2-6x+13>0 を証明せよ. (2)(a+b2)(2+y^2) ≧ (a+by) を証明せよ。 また,等号が成立する条件も求めよ. (3) a>0,6>0 のとき (i) b+ a a +/g/≧2 2 を証明せよ. また,等号が成立する条件も求めよ. (a+b) (12/12) の最小値を求めよ. a + b