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基礎問
121 階差数列
次の数列の一般項と初項から第n項までの和を求めよ。
(1) 2, 3, 6, 11, 18, 27,
(2)
2,3,5,9,17,
精講
具体的な数字が並んでいる数列で, 等差数列でも等比数列でもなけ
れば、各項の差をとってみましょう。(差をとってできる数列を、階
差数列といいます。) こうしてできた数列が等差数列や等比数列で
あれば、次のように考えて一般項を求めることができます。
a1,a2,a3, ', An-1, an
b₁ b₂ b3 ...
bn-1
az=a+bi, as=a+b2=a+(bi+bz),
n-1
an= a₁ + (b₁+b₂++bn-1)= a₁ + Σbk (tetel, n≥2)
k=1
この式は,n≧2のときに限り成りたつので,n=1のときを別に調べないと
いけません.
解答
(1) 与えられた数列の階差数列をとると,
1,3,579, …･･ となる.
これは,初項1, 公差2の等差数列だから,
第n項は, 2n-1
よって, 求める数列の一般項は,n≧2のとき
n-1
2+ (2k-1)=2+2・1/2n(n-1)-(n-1)
k=1
=n²-2n+3
これは, n=1のときも含む.
次に,初項から第n項までの和は
n
Σ(k²-2k+3)=Σk²-2Σk + [3
k=1
k=1
k=1
-@)X-(0)1 (1
k=1
-/n(n+1)(2n+1)-n(n+1)+3n
[110]
【ポイント参照
117
吟味を忘れずに
117
-{(2n²+3n+1)-6n-6+18}
==
= n(2n²-3n+13)
(2)与えられた数列の階差数列をとると、
1,2, 4, 8, ….. となる.
これは,初項1,公比2の等比数列だから
一般
第n項は, 2-1
よって、求める数列の一般項は,n≧2のとき
n-1
2+2=2+21-1-1
-=2"-'+1
これは,n=1のときも含む.
よって,初項から第n項までの和は
n
(2*¹+1)=2*¹+21
= 22-1+n
k=1
ポイント
参考
(証明) n ≧2のとき
演習問題 121
an+1- an = bnと表せるとき
n-1
an= a₁ + Σbk (n ≥2)
k=1
k=1
12-1
+n=2"+n-1
k=1
120" ⅡIの考え方に従うと,次のようにしてポイント
明できます.
n-1
Σ(an+1-an)= Σbr
k=1
展開しないで
因数でくくる
114
[ 118]
◆吟味を忘れ
[118
n-
(an-an_)+(an-1-an-2)+..+(d2-α)=M
n-1
n-1
an-a₁= Σbk よって, an = +26k
k=1
k=1
次の各数列の一般項と初項から第n項までの和を
(1) 1,2,6,13, 23, ···
(2) 1, 2, 5, 14, 41, ***
