重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
| 多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x) =2xを満たし,f(0) = 1
であるという。このとき,f(x)を求めよ。
・基本 15
[一橋大
指針 例えば,f(x)が2次式とわかっていれば、f(x)=ax2+bx+cとおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。
→f(x)は次式であるとして, f(x)=ax"+bx-1+ (a≠01) とおいて
進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ、右辺 2x と比較するこ
とで次数と係数 αを求める。
=
なお,f(x) =
(定数)の場合は別に考えておく。
宝文 左井泉TRAH
f(x)=c(cは定数) とすると, f(0)=1から
解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから,不適。
f(x)=1 |
よって, f(x)=ax+bx"-1+...... (a≠0, n≧1)(*) とす...0=
0=1+y-x
あるとき
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)"+6(x+1)"-1+・
anx +g(x)
I+x=4
- (ax^ + bxn−1 +......)
ただし,g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから、最
高次の項を比較して
......
・①,an=2...... ②
n-1=1
①から n=2
ゆえに、②から
a=1
このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。
(0)=1から c=1
326
SI-D
=2x+6+1
よって与式
2x+b+1=2x
この場合は, (*)に含ま
れないため、別に考えて
いる。由について、
340+9
Tott
(x+1)* x
=x"+nC1x"-1+nCzx-2+...
のうち,
a (x+1)" -ax の最高次
の頃は anx-1 残り
Cの項は2次以下とな
++。
anxn-1と2の次数と
係数を比較。
つまり。
また f(x+1)-f(x)=(x+1)^+b(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが,
結果は同じ。
a=-10.
b+1=0
係数比較法。
この等式はxについての恒等式であるから
すなわち
b=-1
したがって
f(x)=x-x+1
