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第2問 (必答問題)(配点 30)
[1] 先生と花子さんは, 半径が等しい二つの円C:x+y2 = 4,
C2x2+y2-8x+12=0 について話している。 二人の会話を読んで,下の問い
に答えよ。
先生: C2 の中心の座標を求めてください｡
花子:中心の座標は ア
|です。
先生: 円 C, 上の点 (x1, y) における接線の方程式を求めてください。
です。
花子: 接線の方程式は
(1)
先生は,さらに問題を花子さんに出題した。
ものを、次の①~③のうちから一つ選べ。
⑩ x1x+yiy=2 ① x+y=2 ② x1x+yiy=4 3 x+y=4
x1 y1
X1 y1
花子: 接点の座標は カ です。
先生: よくできました。
イ
問題 円 C2の接線で, 円 C を面積の等しい二つの部分に分けるものが2本あ
る。この2本の接線について,円 C2 との接点の座標を求めよ。
(3) カ に当てはまるものを,次の ⑩~⑤のうちから一つ選べ。
0 (4-√3, ±√3) ① (4-√3, ±2√3) (2) (3, ±√3)
4 (4+√3, +√3)
(3) (3, ±2√3)
と求まりました。
先生: よくできました。
また、 ク
0
先生これで(i) は解決しましたね。 次に (ii) を考えましょう。
太郎:y= キ としていいですから, 2次方程式 Q(x)=0 の解をα, βと
して、 解と係数の関係を用いて, +β2 をk で表すことができます。
花子ということは, f(k)=²+B2+y²" とおいて, y=f(k) のグラフを考えれ
ばいいですね。
先生: そうです。
太郎: ²+B2+y”のとり得る値の範囲は
キ
0
テ
ケ
ク の解答群
に当てはまる
ツ
から一つずつ選べ。 ただし、
テ
① >
イ
ト の解答群
① m
テ a² +B² + y² ト
ツ
テ
ウ に当
N
ナニ
ナニ
ヌ
ト に当てはまるものを、次の各解答群のうち
(4+√3, ±2√3)
ヌ に当てはまる数を求めよ｡
まる
については同じものを選んでも
4 S
| 先生:では, 円 C2 上の点Q(p, 9) における円 C2 の接線の方程式は,どのよ
うに考えて求めますか｡
花子: 円 C2 の中心が原点に移るように円 C2 を平行移動した円が, 円 C です。
この平行移動で点Qが点Q’ に移るとすると, 円 C1 上の点Q における
円 C の接線の方程式は I となります。 このことから, 接線の方
(2)
選べ｡
程式は
I
オ
オ
と求まります。
に当てはまるものを、次の各解答群のうちから一つずつ
I の解答群
⑩ (p+4)x+gy=2 ① (p-4)x+gy=2 ② (p+4)x+qy=4
③ (p-4)x+qy=4
オ の解答群
⑩ (p+4)(x+4)+gy = 2
② (p-4)(x+4)+gy = 2
④ (p+4)(x+4)+gy=4
⑥ (p-4)(x+4)+gy=4
〔2〕 先生と太郎さんと花子さんは, 3次方程式に関する次の問題について話して
いる｡ 三人の会話を読んで、 次のページの問いに答えよ。
問題k を実数とする｡
P(x)= x³ (2k+1)x²+(3k²+7k-7)x-3k²-5k+7
とする。
(i) 3次方程式 P(x) = 0 が異なる三つの実数解をもつようなkの値の範
囲を求めよ｡
(ii) k(i)で求めた値の範囲にあるときを考える。 3次方程式 P(x)=0 の
解をα, B, y とするとき ++のとり得る値の範囲を求めよ。
先生 まず, (i)から考えてください。 3次方程式 P(x)=0 が異なる二つの実数
解をもつようなんの値の範囲を求めましょう。
太郎: P キ 1=0 ですから, P(x) は x- キ で割り切れます。 P(x)
キ で割ったときの商をQ(x) とし, 2次方程式 Q(x)=0 の
判別式をDとすると, 方程式 Q(x)=0 が異なる二つの実数解をもてば
よいので, D ク 0 より
ケ
① (p+4)(x-4)+gy = 2
③ (p-4)(x-4)+qy=2
⑤ (p+4)(x-4)+gy=4
⑦ (p-4)(x-4)+gy = 4
コ
セ
が(i)の答えです。
| 先生 (i) の答えは (*) ではないよ。もう少し考えてください。
太郎 そうか。三つの解が異なるから, (*) の条件に Q
という条件が必要でした。
花子:確かにそうですね。 じゃあ、 3次方程式 P(x)=0 が異なる三つの実数解
をもつようなkの値の範囲は
ソ
k. サ
くんく-
が正しい答えとなります。
または
k.
ス
チ
