-
![]()
基本 例題169 指数関数の最大最小
指針>(1) おき換え を利用。2*=tとおくと,yはtの2次式になるから
265
OOOO0
関数 y=4*-2*2+2(x<2)の最大値と最小値を求めよ。
)関数 y=6(2*+2-*)-2(4*+4-*) について、2*+2-*=tとおくとき, yをtを
用いて表せ。また,yの最大値を求めよ。
基本 167
5章
2次式は基本形 a(t-b)+qに直す
で解決!
29
なお,変数のおき換え は,その とりうる値の範囲に要注主意。
(2) まず,X?+Y?=(X+Y)-2XYを利用して,“+4-* をtで表す。
yをtで表すと、tの2次式になる。なお,t=2*+2-* の範囲を調べるには,2*>0,
2-*>0に対し、積2*-2=1(一定)であるから,(相加平均)>(相乗平均)が利用できる。
指
数
関
数
答
(1) 2=!とおくと t>0
0<tS4
xS2であるから 0<t<2?
(pSq→ 2°S2°
したがって
yをtの式で表すと
ソ=4(2*)-4-2*+2=4f°-4t+2=4(t-
y4
50
0の範囲において,yはt=4で最大,t=;で最小となる。
2
t=4のとき
2*=4
ゆえに
x=2
t=ラのとき
2*ミ!
2
ゆえに
x=-1
0
4
よって
x=2のとき最大値50, x=-1のとき最小値1
42*-2-*=2°=1
したがって
y=6t-2(2-2)=-2t°+6t+4
2*>0, 2-*>0 であるから, (相加平均)2(相乗平均)より
*2*+2-*22/2*.2-* =2 すなわち 22
ここで,等号は2*=2-*, すなわち
x=ーxからx=0のとき成り立つ。
相加平均と相乗平均の関係
a>0, b>0 のとき
I
a+b
-2/ab
2
y
17
2
(等号は a=bのとき成り
立つ。)
8
3?,17
のから
ソ=ー2(1-+号
2の範囲において, yはt=2のと
き最大値8をとる。
0
t=2となるのは,(*)で等
号が成り立つときである。
3|2
したがって
x=0のとき最大値8
練習| (1) 次の関数の最大値と最小値を求めよ。
169
[() 大阪産大)
3*
) y=()(-1Sxs2)
(1) y=4*-2**2 (-1Sx<3)
(2) a>0, a+1とする。関数 y=q*+a-2*-2(α*+a*)+2について,
a*+a-*=tとおく。yをtを用いて表し, yの最小値を求めよ。(p.272 EX108
