基本例題28の(1)って 4x4x4=64はなぜ違う？

B612 次の問いに。, 含まれや文字があっても。 276 基本 例題28 重複組合せの基本 00000 (1) 1, 2, 3, 4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す 0 とき,作られる組の総数を求めよ。 |b.267 基本事項3 CHARTOSOLUTION 重複組合せ ○と仕切り |の活用 基本事項で示した »H,=n+rー」Cr を直ちに使用してもよいが, 慣れないうちは とrを間違いやすい。 次のように, ○と仕切り|による順列として考えた方 実である。 (1) 異なる4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 →3個の○と3個の仕切り|の順列 LIOOIO 1 は1が1個, 2が2個を表す。 1 2 3 4 TO|OIO は2が1個, 3が1個, 4が1個を表す。 123 4 (2) 異なる3個の文字から重複を許して8個の文字を取り出す。 →8個の○と2個の仕切り」の順列 例えば, ○○○〇一〇〇○○ はxを3個, yを1個, zを4個取った x 場合で,8次の項xyzを表す。 解答 日(1) 3個の○と3個の|の順列の総数が求める場合の数となる から 6·5·4 ="3。 3-2-1 =20 (通り) 19 -=20 でもよい。 別解 求める組の総数は, 4種類の数字から重複を許して3個 取り出す組合せの総数に等しいから H3=+3-1Cg=C3=20 (通り) 3!3! 日(2) 8個の○と2個の|の順列の総数が求める場合の数となる つ-+=H"→ から 10C&=10C2= 6-0I -=45 (通り) 2-1 解 Hs=3+8-1C。=10Cs=10C2=45 (通り) : iOI =45 でもよい。 2!8!

(1)の負でない整数解の組と(2)の正の整数解の組って何が違うのでしょうか？

基本例題29 整数解の組の個数(重複組合せの利用) OOO い。 277 出す。 (1)x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組(x. v. z) は何個あるか。 (2) x+y+z=6 を満たす正の整数解の組 (x,y. z) は何個あるか。 1章 b.267 基本事項3, 基本 28 3 CHARTO OLUTION ○と仕切り」の活用 (1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は, 7個の○と2個の 仕切り|の順列を考え, 仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から 順にx, y, z とすると得られる。 例えば ○○○|○○| ○○ には T○○|○○○○○ には がそれぞれ対応する。 (2) 正の整数解であるから, x, y, zは1以上となる。そこで, x-1=X, y-1= Y, a-1=Z とおき, 0であってもよい X20, Y20, Zz0 の整数解 の場合((1)と同じ)に帰着させる。これは, 6個の○のうち, まず1個ずつをx, 2,.2に割り振ってから,残った3個の○と2個の仕切り|を並べることと同じ である。 うちは 方が (x, y, z)=(3, 2, 2) (x, y, 2)=(0, 2, 5) 解答 -3つの部分に分けるには, 3-1=2(個)の仕切り 並が必要。 った 『(1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個の|を1列に 並べる順列の総数と同じで C,=C2=- 9·8 -=36 (個) 2.1 2!7! 9! でもよい。 別解 求める整数解の組の個数は,3種類の文字x, y, 2 から 重複を許して7個取る組合せの総数に等しいから sH,=3+7-1Cッ=。C,=,C2=36 (個) のする x-120, yー120, (2-120 (2) x21, y21, z21 から ここで, x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと X+Y+Z=6-3=3 よって, 求める正の整数解の組の個数は, 3個の○と2個の 「を1列に並べる順列の総数と同じで 別解 H=3+3-1C3 =C3=5C2 8 のチシ 110 (個) 5.4 ホケ人金 合仕切り|は, 両端に入れ ることはできない。 C=Ca==10 (個) 2-1 別解 ○を6個並べる。求める正の整数解の組の個数は, ○と ○の間5か所から 2つを選んで仕切り|を入れる方法の総数 と等しいから 5C2=10 (個) 細合せ

至急😿😿(3)ってなんで4個のしきりじゃなくて5個なんですか！！

重要 例題35 数字の順列(数の大小関係が条件) 次の条件を満たす整数の組(a1, az, as, a4, as) の個数を求めよ。 (2) 0Sa」Sazhassasass3 基本 33,34 (1) 0<ai<a2<as<as<as<9 (3) a+aztastastas<3, a;20(i=1, 2, 3,4, 5) 8の8個の数字から異なる5個 指針>(1) ai, az, ……, as はすべて異なるから,1, 2, を選び,小さい順に a1, az, → 求める個数は組合せ&Cs に一致する。 (2)(1)とは違って, 条件の式に<を含むから,0, 1, 2, 3の 4個の数字から重複を許」 て5個を選び,小さい順に a, a2, 求める個数は重複組合せ Hs に一致する。 (3) おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+az+as+astas)=bとおくと ataztastastas+b=3 また,aitaz+as+astas<3から よって,基本例題34(1) と同様にして求められる。 ………, as を対応させればよい。 asを対応させればよい。 一等式 620 解答 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小さい …, as とすると, 条件を満たす組が1つ決ま 検討 うにして解くこともできる。 (2) 「.348 検討の方法の利 (2), (3) は次のよ 順に a1, a2, る。 7 用] 6:=a:+i(i=1, 2, 3, 4, 5) とすると, 条件は よって,求める組の個数は (2) 0, 1, 2, 3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小 さい順に a1, a2, 決まる。 よって,求める組の個数は (3) 3-(a+az+as+as+as)=b とおくと ataztas+a4+as+b=3, a;20(i=1, 2, 3, 4, 5), b20 よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の組の 個数に等しい。これは異なる6個のものから3個取る重複組 合せの総数に等しく 別解 a+az+dstastas=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす0以 上の整数の組(a,, az, as, as, as)の数は sHeであるから sHo+sH」+H2+sHs=.Co+sCi+C2+,C3 8Cs=&C=56 (個) 0<bくb2くbsくb4<bょく9 と同値になる。よって, ((1)の結果から 56個 (3) 3個の○と5個の仕切り を並べ, 例えば, TO|I○○|| の場合は (0, 1, 0, 2, 0)を表すと 考える。このとき, AIB|C|D|E|F とすると, A, B, C, D, asとすると,条件を満たす組が1つ Hs=4+5-1Cs=&Cs=56 (個) の Eの部分に入る○の数をそ れぞれ a1, a2, as, A4, Us とすれば組が1っ決まるか sC。=56(個) Hs=6+3-1C3=&C3=56 (個) ら =1+5+15+35=56 (個)

⑴と⑵の違いは何ですか、、、、😵‍💫 場合の数は苦手です🥲 よろしくお願いします🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

「Action》 大小関係がある整数の組は, まず選び, 小さい順に割り当てよ (2) Xく x2< Xa<x、 例題199 大小関係を満たす整数の組 S 0 , の組は何何通りあるか。 (1) , , 3, Xがすべて異なる (3) S y S X, S xi Back (Play 組分けに関す されている」 ここでは,ノ (問題) 9個の球 x< x2 S X<x 限知の問題に帰着 (2) 0~9から4つを選び、小さい順に xi, …. (3) (2)と違い,同じ値でもよいから x4 とする。 き,次の (1) 球に (3) 球に (解き方) 「L > Xi < x2 = X3 < x4 Sくx<xs <x4 くSX3 < x。 区別 (7 の7 日 (1) 0から9までの 10個の数から,異なる4個をとる順列 の数に等しいから 10P, = 5040(通り) (2) 0から9までの 10個の数から異なる4個を選び、 小さい数から順に X, X2, X3, X4 と定めればよいから 10C, = 210(通り) 箱に 9↑ 2 4例えば、1,5, 6, 98 ると,X1=1, n= X3= 6, X4=9 と城 つける。 110種類の数から4 る重複組合せの数でお 10H, = 10+4-C4= 4個の数を4個の し,0から9の10 区別を9個の区切) をつけることで、五村 X,の値を決定する。 例えば に 2 開3) 0から9までの 10個の数から重複を許して4個を選 び,小さい数から順に x1, X2, Xs, x4 と定めればよい。 よって,求める組の総数は4個の○と 9個の|を並べる 順列の総数に等しいから 例題 (2 13! =715 (通り) 4!9! S (4)(7) xくx2=Xg <xaのとき 0から9までの 10個の数から, 異なる3個を選び, 小 さい数から順に x1, X2 と x3, Xa と定めればよいから 10|||00||| 10Cg = 120(通り) ) くxくxaくx4のとき (2)より 7, 4)より 10C, = 210 (通り) ;= 1, 2 =4, 5 |X4=9 120+210 = 330 (通り) 以 に 練習190 有 () S1 33 21 のプロセス

例題28)赤丸のところがわかりません。6!だと私は思っていたのですが、答えは6C3でした。どうしてそうなるのか教えてください🙇‍♀️ ＊別解の方は理解できました。

日(2) 8個の○と2個の」の順列の総数が求める場合の数となる 0 (1) 1, 2, 3, 4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。この 基本例題28 重複組合 (1) 1, 2, 3, 4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出 とき,作られる組の総数を求めよ。 あるか、 ただし、C地 景勝 でいおな加 O 原の (2) x, y, zの3種類の文字から作られる8次の項は何通りできる。 b.267 基本事項8 基本 うお生 CHARTOSOLUTION 重複組合せ ○と仕切り |の活用 tの 基本事項で示した H,=n+rー」C, を直ちに使用してもよいが, 慣れないうちは。 とrを間違いやすい。 次のように, ○と仕切り|による順列として考えた方が除 実である。 (1) 異なる4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 →3個の○と3個の仕切り|の順列 例えば OI○○ | は1が1個,2が2個を表す。 ケさ の 0流に司 1 2 34 1OIOIO は2が1個, 3が1個,4が1個を表す。 式 123 4 (2) 異なる3個の文字から重複を許して8個の文字を取り出す。 S →8個の○と2個の仕切り|の順列 例えば, ○○○IOI〇〇○○ はxを3個, yを1個, zを4個取った …ロ AJ出 y 場合で,8次の項x'yz* を表す。 のケ g(1) 3個のQと3個の」の順列の総数が求める場合の数となる 6·5·4 C3= 3-2-1 から -=20 (通り) 別解 求める組の総数は, 4種類の数字から重複を許して3個 6! -=20 でもよい。 3!3! kil 取り出す組合せの総数に等しいから 4Hs=4+3-1C3=6Cs=20 (通り) H,=n+rー」C から 10Cg=10C2= 10·9 環は2周0.5 10! 2!8!-45 でもよい。 -=45(通り) 2.1 IPRACTICE. 00の

この(2)は何故8c3になるのですか？ 重複組み合わせなので6この中から2本の区切り線を入れて 8c2にならないのは何故なのか教えてください🙏

1個のさいころを3回投げて出る目の数を順にa, b, cとする。次の場曲 81 何通りあるか。 (2)、aSbSc aくb<c

【】で囲ってあるところの考え方がわかりません… 上のように○と┃で考えたいのですが…

引がフかない。 第5章 場合の数と確率 93 重要例題19)重複組合せ 9個り白の碁石を A, B, Cの3人に分ける。一つももらえない人がいてもよい とすると, 分け方は「アイ」通りで, 全員少なくとも1個はもらえるような分け 方は「ウエ通りである。 POINT! 重複組合せ(n個のものから重複を許して固取る組合せ ひと」の順列と考える。 公式 +ャー1C, 碁石を○で 表し、仕切り|を2 つ入れることにより, A, B, C各人の碁石の個数を表す。 9個の○と2つの|の順列の総数は |○○○○○|○○○○○と1の順列と考える。 C (図では A:0個, B:5個, A B C:4個となっている) 一同じものを含む順列。 基35 =アイ55(通り) 9!2! 19個の○, 2つの|の計11 個を並べるとき, 2つの| の場所の決め方から 11C2 と考えてもよい。 これが分け方の総数である。 全員少なくとも1個はもらえるような分け方は,まず A, B, 合一つずつ先に配れば, 同じ Cに1個ずつ配り,残りの6個について上と同じように考え ように考えられる。 る。 ある 6個の○と2つの|の順列の総数は 8! =ウエ28(通り) 6!2! (別解) 公式を利用する。 異なる3個の文字 A, B, C から9個取る重複組合せであ るから 3+9-1C=1Cg=1C2=Dアイ55(通り) 全員少なくとも1個はもらえるような分け方は, 1つずつ 3人に配った後, 同様に考える。 異なる3個の文字 A, B, C から6個取る重複組合せであ るから 3+6-1C=.C6=&C2=ウェ28 (通り) 前が n+ャー1C, の製 iC, 参考 公式は, 上の 「○とIの順列」 の考え方から導けるので, 公式を覚えなくても 上の考え方を理解しておけばよい。 逆に公式だけ覚えては, どちらがnでどちら がrか判断しにくい。 このように,場合の数, 確率の公式は覚えて使えるだけでなく, どうやって導かれ たのか理解しておけば, 難しい問題にも応用ができる。 ( 31, 32, CHECK 38 の参考)

なぜこの問題のしきり(|)が3個なのか分かりません！ 3個の数字を取り出すから、仕切りは2個にならないんですか？

本例題28 重複組合せの基本 OOO00 次の問いに答えよ。ただし, 含まれない数字や文字があってもよい。 1, 2, 3, 4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。この どき,作られる組の総数を求めよ。

間違えた問題なのですが、なぜこの解き方になるかが分かりません。私は何を間違えているんでしょうか？ あと、この問題を見た時になんでこの解き方になるのかを教えて欲しいです。

に富131 赤吉参のカード 6ある、しただし、どのも-ドも5枚よ以上ある) この3種類のカードから5枚を選びとき、その選u方は何通ある6。 33333 ミ 27×9 - 283点い 2 7! 21適 ニ iてs 7! 5! 2!

(3)の波線部がよくわかりません。 ゼロよりも大きいという条件だけでは、uがゼロよりも小さい時もあるのではないですか？

(2) x, 3, 2は1以上の整数 (つまり自然数) である。 たとえば,x=3, y=5, z=2 の場合は次のようになる。 そこで,まず 10個の○の中から,それぞれ○を1個ずつ x, y, zに与える。 次に残りの7個固は, x, y, z を合わせて7個選ぶ重複組合せを考える。 せて10個選ぶ重複組合せと同じ. 10個の○と2個の|(仕切り)で考える。 整数解の個数 (1X2) 205 題 個 の合計 x y ○ - 最初に1個ずつ選んでおく。 ○○1○○○○I〇 - 7個の○と2個の|(仕切り)で考える。 固取る 2 不等式であるが,方程式におき換えて考える。 10-(x+y+z)=u とすると, x+y+z<10 より, u20 であるから, 与えられ た不等式は,x+y+z+u=10 (x20, y20, z20, u20) として考えることが できる。たとえば, x=2, y=3, z=1 の場合は次のようになる。 u x y ○○I○○○|01O○○○ M x, y, zに分けた残りはuに与えると考える。 (1) 10個の○と 2個の|の合計 12個の並べ方を考えて, 40OIO○O1○○○○○ 12C10=12C2=66 (通り) のとき、 (2) 10個の○のうち, x, y, aにまず1個ずつ取っておき,x=2, y=3, z=5 残りの7個をx, y, z で分ければよい. つまり, 7個の ○と2個の|の合計9個の並べ方を考えて, C,=,Ca=36 (通り) (3 10-(tさー火とおくと、 、*+y+z<10 より, ナ大る土=10 0 ) と考えて,10個の○と3個の」の合計13個の並べ方 を考えると、 15Cio=1sCa=286 (通り) ○○I○○○○IOのと き,x=2+1=3, ソ=4+1=5, ス=1+1=2 u20 |x, y, z に分けて 残りをuに与えれ x+y+z<10 の 不等式が成り立 Focus 整数解の個数は,重複組合せで考える ) 3は, x+y+z=k (k=0, 1, 10)のときに場合分け