基本例題29 整数解の組の個数(重複組合せの利用) OOO
い。
277
出す。
(1)x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組(x. v. z) は何個あるか。
(2) x+y+z=6 を満たす正の整数解の組 (x,y. z) は何個あるか。
1章
b.267 基本事項3, 基本 28
3
CHARTO
OLUTION
○と仕切り」の活用
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は, 7個の○と2個の
仕切り|の順列を考え, 仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から
順にx, y, z とすると得られる。 例えば
○○○|○○| ○○ には
T○○|○○○○○ には
がそれぞれ対応する。
(2) 正の整数解であるから, x, y, zは1以上となる。そこで, x-1=X,
y-1= Y, a-1=Z とおき, 0であってもよい X20, Y20, Zz0 の整数解
の場合((1)と同じ)に帰着させる。これは, 6個の○のうち, まず1個ずつをx,
2,.2に割り振ってから,残った3個の○と2個の仕切り|を並べることと同じ
である。
うちは
方が
(x, y, z)=(3, 2, 2)
(x, y, 2)=(0, 2, 5)
解答
-3つの部分に分けるには,
3-1=2(個)の仕切り
並が必要。
った
『(1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個の|を1列に
並べる順列の総数と同じで
C,=C2=-
9·8
-=36 (個)
2.1
2!7!
9!
でもよい。
別解 求める整数解の組の個数は,3種類の文字x, y, 2 から
重複を許して7個取る組合せの総数に等しいから
sH,=3+7-1Cッ=。C,=,C2=36 (個) のする
x-120, yー120, (2-120
(2) x21, y21, z21 から
ここで, x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
X+Y+Z=6-3=3
よって, 求める正の整数解の組の個数は, 3個の○と2個の
「を1列に並べる順列の総数と同じで
別解 H=3+3-1C3
=C3=5C2
8 のチシ 110 (個)
5.4
ホケ人金
合仕切り|は, 両端に入れ
ることはできない。
C=Ca==10 (個)
2-1
別解 ○を6個並べる。求める正の整数解の組の個数は, ○と
○の間5か所から 2つを選んで仕切り|を入れる方法の総数
と等しいから
5C2=10 (個)
細合せ
なるほど！！
ありがとうございます🙇♀️