-
![]()
-
![]()
OO000
(1) 360 の正の約数の個数と,正の約数のうち偶数であるものの総和を求めよ。
重要
472
基本 例題106 約数の個数と総和
(2) 12" の正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。
(3) 56 の倍数で, 正の約数の個数が15個である自然数nを求めよょ
(2) 慶応大)
指針>
p.468 基本事項
指針> 約数の個数, 総和に関する問題では, 次のことを利用するとよい。
自然数 Nの素因数分解が N=がg'r.·となるとき
正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)…
正の約数の総和は (1+か+が+……+が)(1+q+q°+…+q^)(1+r+r…+r)
は素数。
目)
CHA
(1) 上のNが2を素因数にもつとき, Nの正の約数のうち偶数であるものは
2°.gr……… (az1, b20, c20, … ; g, r, …
1+ の部分がない。
は奇数の素数)《素数のうち
解答
と表され,
偶数は2の
みである。
その総和は
(2) のを利用し, nの方程式を作る。
(3) 正の約数の個数 15を積で表し, 指数 となる a, b,
15を積で表すと, 15-1, 5-3であるから, nはか5-'g'-1 またはが'g°-1 の形。
平方し
の値を決めるとよい。
m, n
40 の斜
また。
CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用
がg°r°の正の約数の個数は (a+1)(6+1)(c+1)(b, q, rは素数)
解答
解は川
(1) 360=2°-3°·5であるから, 正の約数の個数は
した
(3+1)(2+1)(1+1)=4·3-2=24 (個)
また,正の約数のうち偶数であるものの総和は
(積の法則を利用しても求め
られる(b.309参照)。
検
(2+2°+2°)(1+3+3°)(1+5)=14·13·6=1092
(2) 12"=(2°.3)”=22m.3" であるから, 12"の正の約数が28個 4 (ab)"=α"b", (α')"=d"
であるための条件は
1
(2n+1)(n+1)=28
のところを2nnとし
たら誤り。
よって
2n°+3n-27=0
nは自然数であるから
ゆえに
(n-3)(2n+9)=0
の
n=3
(3) nの正の約数の個数は 15(=15-1=5·3) であるから, nは
か または がg° (カ, qは異なる素数)
の形で表される。
(15-1から か5-'g-1
で表される。したがって, 求める自然数nは
n=2*-7°=784
5-3から が-g-
nは56 の倍数であり, 56=2°.7 であるから, nはがの形|くがの場合は起こらな
カ=2, q=7
00
(1) 756 の正の約数の個数と, 正の約数のうち奇数であるものの総和を求めよ。
106 (2) 正の約数の個数が3で, 正の約数の総和が57となる自然数nを求めよ。
(3) 300 以下の自然数のうち, 正の約数が9個である数の個数を求めよ。
自 る
練習
の
IPLEX
4
上
TU *
