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10
第1章 式と証明
基礎問
第1章
•
42項定理 多項定理
7/0
(2)x8x3131xxx
(1) 次の式の展開式における〔〕内の項の係数を求めよ.
(i) (x-2) (x³]
(i) (2x+3y)5 (x³y²)
(2)等式 nComi+nC2+…+nCn=2" を証明せよ.
(3)(x+y+2z)を展開したときの'zの係数を求めよ。
精講
2項定理は様々な場面で登場してきます. ここでは
I. 2項定理の使い方の代表例である係数決定
Ⅱ.2項定理から導かれる重要な関係式
以上2つについて学びます。
2項定理とは、 等式
(a+b)=n Coa"+"Ca1b+…+nCka-kbk+..+nCnb”
のことで,
Cka"-b" (k=0, 1,, n)
を (a+b)” を展開したときの一般項といいます。
解 HO
(1) (i) (2)' を展開したときの一般項は
Cr(x)^(-2)=Cr(-2)7.x"
r=3のときが求める係数だから
7×6×5
7C3(-2)=
・24=560
3×2
参考
次に (x+y)* を展開したときの一般項は Cirky-l
したがって(x+y+2z) を展開したときの一般項は
6Ch Ciry-(22)6-k
=26-6Cn* Cix¹y-12-
11
11
定数の部分と文字式
の部分に分ける
よって,r'y'zの係数は k=5,i=3 のときで
216C55C3=26C1・5C2
=2・6・10=120
ポイント
(a+b)"
=nCoa"+nCian-16+... +nCkan-kbk+…+nCnbn
<Crx7-(-2) でも
(3)は次の定理を使ってもできます。
多項定理
(a+b+c)” を展開したときの abc' の係数は
n!
p!g!r!
(p,g,r は 0 以上の整数で, p+g+r=n)
(x+y+2z) を展開したときの一般項は
p!q!r!xy(22)'=
p!q!r! x'y'z'
p=3g=2,r=1のときだから求める係数は
(p+g+r=6)
よい
(別解)
6!
26!
(Ⅱ) (2x+3y) を展開したときの一般項は
5C,(2x) (3y)5--5C, 235. xy-r
r=3のときが求める係数だから
5C3・23・32=
5×4×3
3×2
.23.32=720
2.6!
=120
3!2!1!
5Cr(2)-(3y) で
注 1. 多項定理を使うと, 問題によっては,不定方程式 p+g+r=n を解く
技術が必要になります.
もよい
(2)(a+b)=CanCam-16+…+nCn-146"-1" Cnb" の両辺に
a=b=1 を代入すると
(1+1)^=„Co+„Ci+…+nCr ...nCo+nC+... +nCz=2"
(3)(x+y+2z)を展開したときの一般項はCh(x+y)(2z)6-
注2. (1) (ii)のようにx,yに係数がついていると, パスカルの三角形は使いに
くくなります。
演習問題 4
(1) (32y)におけるryの係数を求めよ.
(2) Co-C+C2-nC3+..+(-1)"C=0
を証明せよ.
