例題
53 同一平面上にある条件[2]
四面体 OABC において 辺OA の中点を M, 辺BCを1:2に内分する点
を N, 線分 MN の中点をPとし, 直線 OP と平面 ABCの交点を Q, 直線
AP と平面 OBCの交点をR とする。 OA = 4, OB,OC = c とすると
き、次のベクトルをa, b, c で表せ。
頻出
(1) OP
(2)0Q
(3) OR
1:8
例題 23 (2)
(2)既知の問題に帰着 例題 23(2) の内容を空間に拡張した問題である。
さ
思考のプロセス
m
章
空間におけるベクトル
〔平面〕 Q. A(a),B(b)を通る直線上 〔空間〕 Q... A(a),B(b),C(c) を通る平面上
OQ
= k OP
ka+
kb
a P
4
A
Q
B
OQ
= k OP
ka+ki+kc A4
↑
・和が1
a
0
C
P
C
b
・和が1
B
Action» 平面 ABC 上の点P は, OP =sOA+tOB+uOC,s+t+u=1 とせよ
(1) OP
OM+ON
0
2
点Pは線分 MN の中点で
ある。
1
=
2
JA1
1→
a+
C
4
3
1 2b+c
a+
- (+26+)
3
-1+1+17
(2)点 Q 直線 OP 上にあるから,OQ=kOPは実数
20
M
OM=1/20
-OA
P
R
C
2OB + OC
A
ON
1+2
とおくと OQ
=
ka+kb+kc
6
点Qは平面 ABC上にあるから 11/11/2
k=1
k+
4
点Qが平面ABC 上にあ
るから
4
k= 1/3 より OQ=
1→ 4
=
= 1½ + ½ + ½
(3)点Rは直線AP 上にあるから, ARIAP (Iは実数)
OQ=sOA+tOB+uOC
のとき s +t+u=1
OR-OA-1(OP-OA)
2
とおくと
OR = (1-1)+1+b+c
13
6
OC
点R は平面 OBC 上にあるから
3
ORはひとこのみで表す
1-
1=0
ことができる。
に 4
20
3
より
OR=
=
6+
4 20
9
29
QB を 1:2に内分する点を Q,
