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F
19 平面の方程式
新 入試につながる
実戦力 P問題 間違えたら✓を入れて、翌日以降にもう1度解きそう。
3点 (2.0,1),B(0, 3,0), C(3,1,2)を通る平面の方程式を求めよ。
空所を埋めながらポイントをつかもう! 答えは、右ページの下
問題を
平面の方程式の問題。 どのような条件があれば平面が決まるかを考えることがポイントだ。
読み取る
一般に3つの点があると1つの平面が決まる。この問題は、与えられた3点を通る平
を決定する問題だ。
その方程式を求める方法はおもに2つあり、1つは「4点が同一平面上にある条件」を解
いる方法で、もう1つは「法線ベクトル」を用いる方法だ。 両方とも挑戦してみよう。
◆ 「4点が同一平面上にある条件」 を用いて解く
ます。 「4点が同一平面上にある条件を用いる方法」を考えていこう。
点P(x,y,z)が平面ABC 上にあるとき.
OP=(
OA+8OB+tOC
を満たす実数 s, t が存在する。
これに各点の座標をあてはめると、次の連立方程式を得る。
[x=2-2s+t
AB.n=-2n+3n-n=0…..…. ①
AC n
+②より, -n +4n2 =0 よって、n=4ng
-+②×2より 5n+n」=0 よって, n』 -5n2
Cº
.......
②
•A
これらの方程式からs, t を消去し, 平面の方程式を求めよう。
◆ 「法線ベクトル」 を用いて解く
もう1つの解き方である 「法線ベクトルを用いる方法」 を考えていこう。 平面に垂直
なベクトル(法線ベクトル) が具体的に求められると, それを用いて平面の方程式も
求めることができる。
そこで,AB=(-2,3,-1), AC = (1,1,1) の両方に垂直なベクトルを
n=(ni, nz, n) とすると,
発展レベル
●B
•P
AB AC の両方に
直なベクトルを求め
う。 これが､平面ABC
の法線ベクトルとなるん
だ。
[[解答・解説] 空間ベクトルの応用問題
19 平面の方程式
問題が解ける! 思考プロセス
「問題を
読み取る
解答の方針を
考える
よって,
一般に3つの点があると1つの平面が決まる。 この問題は、与えられた3点を通る平
を決定する問題だ。
その方程式を求める方法はおもに2つあり、 1つは ｢4点が同一平面上にある条件」を
用いる方法で、もう1つは 「法線ベクトル」 を用いる方法だ。 両方とも挑戦してみよう。
問題 解答 答えが合っているかだけでなく、 解答中のポイントができているか振り返ろう!
点P(x, y', z) が平面ABC 上にあるとき,
OP=(1-8-00A+SOB+1OC
を満たす実数 s.tが存在する。A
図4点が同一平面上にある条件を述べた]
したがって
平面の方程式を求める2つの方法のポイント
「4点が同一平面上にある条件」 を用いる場合は平面ABC上に第4の点P(x,y,z)
あるための条件を利用する。 つまり, 「OP=(1-s-t) OA+sOB +10C｣ という表し方一
「法線ベクトル」 を用いる場合は AB AC の両方に垂直なベクトル n を求めよう。
(x, y, z)=(1-s-t) (2, 0, 1)+s(0, 3, 0)+(3, 1, 2)
①② より.
x=2-2s+t ...... ①
y=3s+t ......
②
z=1-s+t ...... ③
連立方程式をつくった｣
まず注意! 連立方程式を解こうとしないように B
= (2-28-2t, 0, 1-s-t)+(0, 3s, 0)+(3t, t, 2t)
=(2-2s+t,3s+t, 1-s+t)
x-y=2-58 ......
④
②3 より、
y-z=-1+4s ······
5
①x4+⑤ ×5 より,
4x+y=5z = 3
よって求める方程式は.
4x+y-52-3=0 ......(答)
平面の方程式を求めた｣
A要 4点が同一
る条件を利
4点 A. B.C.Pが
3 A, B, C
に点もある
OP = (1-8-1
を満たす実
1
B この問題です
「式」
たいものは
この連立方
式の数が足
｢解く」こ
程式を解
ように注
