1
1 次のように定められた数列 {an} の一般項を求めよ。
3項間の漸化式
a,= 2, a2 = 3, an+2 = 5am+1-6a, (n=1, 2, 3, ·…)
5
解
漸化式 an+2 = 5an+1-6am は, 2次方程式x3D 5x-6 を満たす
解x= 2, 3 を用いて
an+2-2an+1 = 3(an+1-2am)
an+2-3am+1 = 2(an+1-3am)
2
と変形される。
10
1より,数列{an+1-2an}は公比3の等比数列であるから
an+1-2am = 3"-1(a2-2aj)
= 3"-1(3-2.2)
三
=-37-1
In
すなわち
an+1-2am = 13"-1
3)
2より,数列{an+1-3am} は公比2の等比数列であるから
an+1-3am = 2"-1(az-3a)
2"-1(3-3·2) = -3·2"-1
ニ
すなわち
an+1-3an = -3·2"-1
4
よって,③ から④ を引いて
an =3.2"-1_37-1
