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重要 例題 144 二角方程式の解の個数
a
は定数とする。 0 に関する方程式 sin20-cos0+α=0 について,次の問いに答
えよ。 ただし, 0≦0<2πとする。
(2) この方程式の解の個数をαの値の範囲によって調べよ。」
(1) この方程式が解をもつためのαの条件を求めよ。
x2+x-1-a=0 (-1≦x≦1)
指針 cos0=xとおいて, 方程式を整理すると
前ページと同じように考えてもよいが, 処理が煩雑に感じられる。 そこで
① 定数αの入った方程式f(x)=αの形に直してから処理に従い,定数aを右
辺に移項した x2+x-1=α の形で扱うと,関数 y=x²+x-1(-1≦x≦1)のグラフと直
線y=αの共有点の問題に帰着できる。
→ 直線y=a を平行移動して,グラフとの共有点を調べる。 なお,(2) では
x=-1, 1であるxに対して0はそれぞれ1個,
1<x<1であるxに対して0は2個あることに注意する。
解答
CS0=xとおくと, 0≦0 <2πから
方程式は
(1-x2)-x+a=0
したがって
x2+x-1=a
f(x)=x^*+x-1とするとf(x)=(x+1/27) 2012/2
5
-
(1) 求める条件は、-1≦x≦1の範囲で, 関数 y=f(x) の
グラフと直線y=α が共有点をもつ条件と同じである。
よって、 右の図から -2 -≤a≤1
(2) 関数 y=f(x)のグラフと直線y=a の共有点を考えて,
求める解の個数は次のようになる。
-1≤x≤1
5
[] a<-2, 1<a のとき共有点はないから 0個
4'
[2]
a=- のとき, x=- 1/2から2個
5
4
[3] -> <a<-1のとき
-¹<x<- 12/1₁ - 12/1<x
れぞれ1個ずつあるから 4個
[6]
<x<0 の範囲に共有点はそ
[6]+
[5]
[4]-
[3]+
[2]
[6] -
[5] -
[2] -
[4]→
この解法の特長は, 放物線を
固定して, 考えることができ
るところにある。
グラフをかくため基本形に。
iy=f(x)
1
0
y=a
1
-1
a=-1のとき, x= -1,0から 3個
1<a<1のとき, 0<x<1の範囲に共有点は1個あるから 2個
a=1のとき, x=1から 1個
YA
1
重要 143
O
5
12l
1
1x
定数αの値の範囲に
[3]
225
4章
23
三角関数の応用
