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43と5の最小公倍数 15ずつ大きくなる。
このように、書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからな
そこで、問題の条件を 1次不定方程式に帰着させ, その解を求める方針で解いてみよう。
基本 例題129 1次不定方程式の応用問題
OOOO0
どのよう
できない正
ものを求めよ。
n
基本 127,128
指針> 3で割ると2余る自然数は 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,
5 で割ると3余る自然数は 3,8,13, 18, 23,
が共通の数。
8が最小である。
計> の
3m+5
ようた
の 8, 23, 38, 53, 68,
また,7 で割ると4余る自然数は 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53.
の, B から,求める最小の自然数は 53 であることがわかる。
このように,書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つかと。
い(相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率的である。
そこで、問題の条件を1次不定方程式に帰着させ,その解を求める方針で解いてみよ。
→x
m, nは負~
n=0
書
解答
よって,
nはx, y, zを整数として,次のように表される。
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
オ=3m+
2] n=1
ここで,
よって,
注意 3x+2=5y+3
3x+2=5y+3 から
かつ 5y+3=7z+4
3x-5y=1
として解いてもよいが,係
数が小さい方が処理しやす
の
x=2, y=1 は,① の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(yー1)30 すなわち 3(x-2)35(y-1)
3と5は互いに素であるから,kを整数として, x-2=5k と表
される。よって
い。
3 n=
x=5k+2(kは整数)
ここで
の
3(5k+2)+2=7z+4る
S十S + -0-
2を3x+2=7z+4に代入して
このとき y=3k+1
よって
ゆえに
(3x-7z=2 から
3(x-3)-7(z-1)=0
ゆえに,1を整として
7zー15k=4
2=-8, k=-4は, ③ の整数解の1つであるから
907(2+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4)
7と 15 は互いに素であるから, 1を整数として,z+8=15/ と
表される。よって
これをn=7z+4に代入して n=7(15/-8)+4=105/-52 8|
最小となる自然数nは, 1=1を代入して
ロ~[3]
形に表す
x=71+3
これと x=5k+2を等置し
よって、
2=15/-8(1は整数)
(TE bom)トー
て 5k+2=7l+3
よって 5k-71=1
これより,k, lが求められ
るが,方程式を解く手間が
1つ増える。
53bom)88
88-458
したが
