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位の数は コである。 ただし, logio2=0.3010, log103=0.4771, logio7=0.8451
OOOO0
288
基本 例題185 最高位の数と一の位の数
で, 一の位の数は
120は7口桁の整数である。また, その最高位の数はイ
である。ただし, logio2=0.3010, logio3=0.4771 とする。
事項
(慶応大)
日
基本 182
logio N の整数部分,
指針>(ア), (イ)正の数Nの 桁数は
ド
なぜなら,Nの桁数をkとし, 最高位の数をa(a は整数,1<as9) とすると
a·10*-1SN<(a+1)·10*-1 - a00… 0 (0がk-1個)から a99…9 (9がん-1個)キー
→ logio(a-10*-1)<log.oN<log.o{(a+1)·10*-}
→k-1+log1oa<log1oN<k-1+logio(a+1)
よって, log1oNの整数部分をか,小数部分をqとすると
最高位の数は 1ogioN の小数部分 に注目。
12
一各辺の常用対数をとる。
ーlog.o(a-10)=logioa+logio10*-1
弦
p=k-1,
logioaSq<logio(a+1)
(ウ) 12', 123, 12°, …を計算してみて, 一の位の数の 規則性を見つける。
解答
(ア) logio1260=601og.o(2°-3)=60(21og1o2+1ogio3)
=60(2×0.3010+0.4771)=64.746
1log1o1200=601ogio12,
12=2°-3
ささ 、
ゆえに
64<log1o1260<65
(イ)の別解(ア) から
よって
1064<1260<1065
1260=1064.746 =1064. 10,746
したがって,120は 65 桁の整数である。
(イ)(ア)から
ここで
log1o1260=64+0.746
log105=1-log102=1-0.3010=0.6990
log1o6=1ogio2+logio3
10°<100-746<10'であるから,
10.746 の整数部分が12°の最
高位の数である。ここで
log105=0.6990 より
=0.3010+0.4771=0.7781
-10.6990=5
ゆえに
logio5<0.746<logio6
log1o6=0.7781 より
10.7781-6
すなわち
5<100746<6
100.6990<10.746<10,7781
よって
5·1064<1064.746<6·1064
5<10746<6
すなわち
5·1064<1260<6·1094
から
nert
よって,最高位の数は 5
O100
したがって, 120 の最高位の数は
(ウ) 12', 12°, 12°, 12", 12,
5
の一の位の数は, 順に
ニ
2, 4, 8, 6, 2,
となり,4つの数2,4,8,6を順に繰り返す。
60=4×15であるから, 1200の一の位の数は
(12=2(mod10)であるか
ら,12" の一の位の数は、
2"の一の位の数と同じ。
レにさ
6
1大
A81
自然数nが不等式 38<log.o8"<39 を満たすとする。このとき, 8" はアL
20 ゆち
練習
©185
自然数で, nの値は n={]である。 また, 8"の一の位の数はウ で、 。
]桁の
3
とする。
(関西学院大)
(p.294 EX119
エ 四
