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もよ
C
解答
練習
② 95
例題
基本
aは定数とする。 関数f(x)=
たは範囲をそれぞれ求めよ。
(1) f(x)がx=1で極値をとる。
指針
95 関数が極値をもつための条件
x+1
x2+2x+α について,次の条件を満たすaの値ま
f(x) は微分可能であるから
f(x) が極値をもつ
[[1] f'(x)=0 となる実数α が存在する。
(f'(x) /
[ [2]x=αの前後でf'(x) の符号が変わる。>0
f'(x) = -
(2) f(x) が極値をもつ。
極
小
まず必要条件 [1] を求め, それが 十分条
件 [2] も満たす) かどうかを調べる。
f'(x) = 0
(1) = 0 を満たすaの値 (必要条件)を求めてf(x) に代入し,x=1の前後で
f(x) の符号が変わる(十分条件) ことを調べる。
/P.162 基本事項 2. 基本 94 重要 96
180
なお、極値をとるxの値が分母を0としないことを確認すること。
10円
定義域は、x2+2x+a≠0 を満たすxの値である。すら
1. (x²+2x+a)=(x+1)(2x+2)
(x2+2x+α) 2
=x2+2x-a+2
(2) f(x) = 0 が実数解をもつためのαの条件 (必要条件) を求め、その条件のもとで,
f(x) の符号が変わる(十分条件) ことを調べる。
f'(x)=0
(x2+2x+α)2
(1) f(x) は x = 1 で微分可能であり,x=1で極値をとる
f'(1) = 0
関数f(x)=-
ekx
x2+1
f'(x)
<0 <0
fland to
よって, 2次方程式x2+2x-a+2=0 の判別式Dについ
D0 すなわち 1²-1(-α+2)>0
て
とき
必要条件。
1212, (57)=1+2¬a+2=0, (†§)=(1+2+a)²=0 (x) ata
よって α=5 このとき f'(x)=-(x+3)(x-1)
これを解いて
a>1
このとき,f'(x) の分母について{(x+1)^+α-1}'≠0
であり,f'(x) の符号はx=cの前後で変わるから f(x)
は極値をもつ。 したがって a>1
f'(x)\
(kは定数) について
IT It.
7 k=
(x+2x+5) 2
(5x)D
ゆえに,f'(x) の符号はx=1の前後で正から負に変わ十分条件であることを示
a=5
り, f(x) は極大値 f (1) をとる。 したがって
(2) f(x) が極値をもつとき, f'(x)=0となるxの値cが(この確認を忘れずに!)
あり, x=cの前後でf'(x) の符号が変わる。
>0
1f(x) の(分母)≠0
(4) -
u'v-uv
2²
の値を求めよ。
167
Aa=5 lt の解｡
y=x2+2x-a+2
+
V
C1
C2
+
4章
4
x
2 関数の行
14
x=c(C1とC2の2つ)の前
後でf'(x) の符号が変わる
[類 名城
