例題 6
実数x, y, z2x+y+z=0,xy+yz+zx=-2 を満たしてい
る。このとき,次の問いに答えよ。
(1) y+z, yz をxの式で表せ。
(2) xのとりうる値の範囲を求めよ。
(3) 2x2-x+y2+22 の最小値と最大値を求めよ。
指針 条件つき最大 最小 1. 条件式を用いて文字を消去する
•
2. 実数解をもつ条件を利用する。
解答 (1) 2x+y+z=0 より
y+z=-2x 答
[12 大阪経大 ]
xy+yz+zx=-2より yz=-2-x(y+z) =2x-2
(2)(1) より,y,zは2次方程式 2+2xt+2x2-2=0 の実数解である。
D
判別式をDとすると
=x2-(2x2-2)=-x2+2
4
D≧0 であるから -x2+2≧0 これを解くと√2≦x≦√2
(3) 2x²-x+y2+2°=2x²-x+(y+z)^2yz
=2x2-x+(-2x)2-2(2x2-2)
=2x²-x+4158
三
31 A/
EAS
=2(x−−1)² + 3/12
8
(2)より,-√2≦x≦√2 であるから,2x-x+y+z
x= で 最小値
31
8
"
x=√2 で最大値 8+√2 をとる。 答
参考 x=-√2 のとき (y, z)=(√2,√2)
x=
のとき(y, 2)=(
-1±√31 -1 +√31
4
4
(複号同順)
(
(C)
(1)
