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例題 126 三角方程式の解の個数
要
①0000
は定数とする。 (S02 のとき, 方程式 sinsin0aについて
この方程式が解をもつためのαのとりうる値の範囲を求めよ。
(1)
(2)
この方程式の解の個数をαの値によって場合分けして求めよ。
CHART & SOLUTION
基本 125
方程式f(0)αの解
2つのグラフy=f(0),y=αの共有点・
sin0k (0≦0 <2π) の解の個数 k=±1で場合分け ···
①
205
の個数はk =±1 のとき1個: -1 <k<1のとき2個; k<-1,1<んのとき0個
答
(1) sin20-sin0=a.
・① とする。
4章
sin0 = とおくと
ただし、 002
e-ta
から -15t51
(2)
16
③
したがって、 方程式 ①が解をもつための条件は、
方程式 ② ③ の範囲の解をもつことである。
y=f-t
[1]
--[1]
2
y=a
2
方程式②の実数解は,y=f-t=
[2]→
の
2
グラフと直線 y=αの共有点のt座標であるから,
[3]-
021
右の図より
1/20
≤a≤2
[4]→
[5]
4
三角関数のグラフと応用
(1)の2つの関数のグラフの共有点の座標に注目すると、
方程式 ① の解の個数は,次のように場合分けされる。
[1] α=2 のとき, t-1 から
1個
[2] 0<a<2 のとき, -1<t < 0 から 2個
[4]-->
-[3]
[3] α = 0 のとき, t = 0, 1 から
3個
[5]
[4]-
27
[4] -1 <a<0 のとき,<<1/12 1/2<<1
2'2
½<t<1
-[3]
0
π
[2]2/
の範囲に共有点がそれぞれ1個ずつあり, そ [1]/
れぞれ2個ずつの解をもつから
t=sin
4個
[5] a=-1/12 のとき,1=1/23 から
2個
[6] a<-12<a のとき
0個
4'
PRACTICE 126
a を定数とする。 方程式 4cos'x-2cosx-1=αの解の個数を -π<x≦z の範囲
で求めよ。
[類 大分大]
