n1とかn2とかは何を表しているんでしょうか？なぜ積の形をしているんですか？素因数分解ぽい形で漸化式っぽく表していそうな気もするけれど、意味がわかりませんでした……

の問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 1 前ページの基本例題112 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」 は、 素数は無限個あることを証明せよ。 を2以上の自然数とする。 n +1は互いに素であるから2n+1) は異な 萩 る素因数を2個以上もつ 同様にして, n=n(n+1)=n(n+1)(n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 この操作は無限に続けることができるから、素数は無限個存在する。 ※各自=2やn=3などの場合で,このことを検証してみるとよい。 害数が無限個あることの証明は,ユークリッドが発見した背理法を利用する方法が有名である が、上の証明は、21世紀に入って(2006年), サイダックによって提示された、とても簡潔な方 法である。

・2）の証明の「同様に」以降はなぜr≠0とだけ仮定するのですか？0≦r＜lの否定になるんですか？ ・1）の証明の、「」が何を言っているかわからないです。2）の何をどう利用したんですか？ 本当に理解できないので簡単めに解説をお願いしたいです。😢

446の会社数は無数 基本事項 ① 最大公約数と最小公倍数 (12) 24.…… 2つ以上の整数に共通な約数を,それらの整数の公約数といい、公約数のうち最大 のものを最大公約数という。 また,2つ以上の整数に共通な倍数を,それらの整数 の公倍数といい,公倍数のうち正で最小のものを最小公倍数という。 一般に、公約数は最大公約数の約数 公倍数は最小公倍数の倍数である。 TA 注意 最大公約数をG.C.D Createst Common Divisor) または G.C.M (Greatest Common Measure), 最小公倍数を L.C.M (Least Common Multiple) ともいう。 ② 互いに素 2つの整数αの最大公約数が1であるとき, a,bは互いに素であるという。 ③3 最大公約数 最小公倍数の性質 2つの自然数a,b の最大公約数をg, 最小公倍数を1とする。 aga, b=gb' である とすると,次のことが成り立つ。 a' と'は互いに素 gdg b 21=ga'b'=a'b=ab' 解説 <最大公約数、最小公倍数> 上の1) 2) を証明してみよう。 それには,まず2) から示す。 [2) の証明]a,b,c, ······ の最小公倍数を 任意の公倍数をとする。 kを1で割ったときの商を Q, 余りをrとすると a,bはgでひろいろ なかった素因数の あつまり ~ 1 Y = 77₂ 318 7 きずり h=qlty...... ①,0ょくし -0 もしもの倍数であるから, k=ak', l=gl' (k', I'は整数)と表され axsh Tabの任にかけた rkgl=g(k-ql ) より はαの倍数である。 ab=gl 同様に,b, G…. の倍数であるから､はa,b,c,….. の公倍 w z C 数である。 「ここで、y=0 と仮定すると、より小さい正の公倍数rが存 在することになるが,これはが最小公倍数であることに矛盾する。」 ゆえに = 0 よって, ① はん=ql となり, kは1の倍数である。 [1) の証明] α, b, c, ······ の最大公約数を g, 任意の公約数をmとする。 「1をgとmの最小公倍数とすると, はgとmの公倍数であるから 2) より αはもの倍数である。 同様に, b, c, ...... もの倍数である。 したがって は a, b, C....... の公約数である。 ここでgが最大の公約数であるから l≤g 12g ゆえに lg 一方, 1はgとmの最小公倍数であるから よって,gとmの最小公倍数がg に一致し, gはmの倍数である。 すなわち, 任意の公約数は最大公約数g の約数である。 大きい所どり! xy X² Yo X'Y = l この等式については、 次の 「§18 整数の割 り算と商および余り」 で詳しく学習する。 <背理法。 Fag (A)) 1) を示すにぼg と mの最小公倍数が であることを示せば よい｡ ASB かつ A≧B ならば A=B この論法は整数の性 質に関する証明でよ

不定方程式の整数解についての質問です。1枚目の写真はbk,-akとなり異符号で2枚目の写真は5k,3kとなり同符号です。なぜこのようになるんですか？異符号だからですか？ a-2=-5k,b-1=-3kやx-x_0=-bk,y-y_0=akと表していいんですか？

aとbを互いに素である整数として, c も整数とするとき, 1 (Ax-B)(Cyax+by=c を満たす整数解 (一般解) は, ① を満たす1組の整数の組(xo,yo) (特殊解)を求め ると, ① から, と変形できるから, a(x-x)=-b(y-yo) x-xo= bk, y-yo=-ak ly- ne 2 11 (は整数) として求められる. この特殊解が見つけにくいときは,ユークリッドの互除法を利用する.

演習β 21回 4 マーカー部分がどういうことか分からないので教えてください。

4 [2001 神戸大] (1)a,b,c を整数とする.x に関する 3次方程式x+ax2+bx+c=0が有理数の解を もつならば,その解は整数であることを示せ。ただし、正の有理数は1以外の公約数 をもたない2つの自然数m,n を用いて! と表せることを用いよ. m (2) 方程式x+2x2+2=0は, 有理数の解をもたないことを背理法を用いて示せ . [解答 mとnが1以外に公約数をもたない自然数であるとき, 「mとnは互いに素である」と いう。 (1) 方程式x+ax2+bx+c=0が有理数の解x = αをもつとする. α=0のとき,αは整数となる. α>0のとき, α= n (m,nは互いに素な自然数) とする. m x=αは方程式の解であるから a³+aa²+ba+c=0 3 2 ( m )³ + a( m )² + 6( m) + b m m ゆえにn+amn²+bmin+cm²=0 よってn=-man²+bmn+cm ² ) a, b, c, m, nは整数であるから,ndはmの倍数である. mとnは互いに素であるから、mとnも互いに素である. したがってm=1? ゆえに, αは整数となる. すなわち n - +c=0 2両辺にかける また, α<0のとき, α=-- とすると,同様の結果が得られる. m (2) 方程式x+2x2+2=0が有理数の解x =α をもつと仮定する. (1) から, αは整数である. a³ +2a²+2=0+5 a³ +2a² = -2 すなわち α2 (a+2)=-2 αは整数であるから (α, α+2)=(1,-2),(-1,-2) しかし,これを満たす α は存在しないから, 矛盾. したがって, 方程式x3+2x2+2=0は有理数の解をもたない.

演習β 21回 3 1つめのマーカー部分について、2r²ー2rが0じゃなくても2^m=2(2r²ー2r＋1)の()内は整数になるのでどんな場合でも2^mは偶数になるんじゃないんですか？ あと、2つめのマーカー部分はなぜこうなるのか分からないので教えてください。

3 [2014 関西大] y2=4x4+221 を満たす自然数 x, y を求める。 (1) 自然数m,nに対して, 2"1=nが成立したとする。 2" は偶数だから,nは奇 数となる。 よって, ある自然数を用いてn=2r1と表せる。 このとき, 2"=2(272-72+1)が成立する。もし, 22-72が0でなければ,2" がある1より大きい奇数で割り切れることになり,矛盾する。 したがって, となる。 m=n= (2) y2-4.x を因数分解すると(y+22+2)(y-22 x2) となる。 ウ y+ y+ 2x225 が成立する。よって, x2=2 (21)が成立する。一般に, 最大公約数が1である自然数 1, ”に対して, uv がある自然数の2乗になるならば, u, それぞれがある自然数の2 乗になる。したがって,(1)より、x=2^口, と求まる。 解答 y2=4x4+221 2･ 2 ウ 2 x2は221 の正の約数だから, ある0以上の整数aを用いて ①とする。 (1) 2m-1=n2, n=2r-1から x2 = 2 と表せる。 このとき, y- 2m=n2+1=(2x-1)2+1=4r2-4r+2=2(2r2-72+1) 22-2r=0 より nr-1)=0 このとき と表せる。 m=n=1 (2) y2-4x^=y²-(2x²)2=(y+ 2x2)(y-2x2) ① より, y+2x2 は 221 の正の約数であるから y+2x2=2(aは0以上の整数) 7²= このとき, 2(y-2x² =221 より y-2x2=2 (21-4) ②③ から (2* (2a-21) — 1) 2.2x2=2a_221-221-d(2* 2.2x²=(2x)2 であり,221-4, 224-21-1 は互いに素であるから, 221-4, 224-21-1 はそ れぞれある自然数の2乗になる。 は自然数であるから r=1 221-4 がある自然数の2乗になるとき, a は 0≦a≦21 を満たす奇数である。 ...... ④ 一方,224-21-1について, 2a-21 は整数であるが, 2a-21 ≤0 とすると, 224-21_1 は自然数とならない。 2m-1²が成立するとき ABAR LIOS m=n=1 したがって, 2a-21 は自然数である。 ゆえに, 22-21-1 がある自然数の2乗になるとき, (1) より 2a-21=1 これを解くと a=11 これは ④ を満たす。 このとき 22.x2=221-11.1より x=28 すなわち x=24 y=2x2+221-a=2.28+221-11 = 3.29 221~1 (0)1=s 2621-11-2) 8

これの(2)はxとyに何を入れれば式が成り立つのか思いつきません。ひたすら考えるしか方法はないのでしょうか？右辺を1としても思いつきません。 解説お願いします🙇‍♀️

2 [三訂版メジアン ⅠⅡAB受 広島修道大] (186336052の最大公約数を求めよ。 (2) 方程式8633x+6052y=1068 の整数解をすべて求めよ。

なぜm≧1なのでしょうか？

45.方程式x-3x-1=0 の解αに対して次のことがらを示せ。 △ (1) αは整数ではない. (2)α は有理数ではない値を求めよ。 (3)αは+qv3(p、qは有理数)の形で表せない. 08 自幸(小樽商科大) ats d

整数の問題です！ この方針で解こうとしましたが、ちょっと手詰まりです。続けて解答出来る方いらっしゃいますか？ ちなみに答えはもう出ています。(画像参照)

場合に分けで考えてみよう。 xに関して、X≧2であることを考慮する。 (i) つy=zaとき、 6+3+2 X (ii) xc=g 2²2 +²2² = 5) 272 + ²4 = 22 (8-9) (58-2) = 18 これをみたす (.g)は、 (22)=(2,4),(3,1) (ii)y=z 炭=5 ここで、x32より、不適 (iv) x=2 2/2 + ++ += 5 €) 5 =) =Y+X = XY これをみたす、y)は、ない。 3 このとき、 (5x-6)(y-1) = 6 ++/4+1/2 #y₁²³²x= xy = (5x-8)(5x-3) = 24 これをみたす (y)は, (x,y)=(2,3),(4,1) (V) XYZ. 全てが互いに素であると、軽数値とはならないので、全てが同じ倍数である ことが条件(ただし、1も含める)

解き方がわかりません。教えてください🙇‍♀️

610 774 =46. 28 m,n を互いに素な整数とする。 1)3m+7mと2m+5mが互いに素であることを証明せよ。 2)4n+3と3n+1が互いに素となる最大の3桁の数nを求めよ。

最後の解が合わないです どこがダメなのか教えてくださいm(_ _)m

(1) 5x+79= | 11 a 13 18 x=-4₁4=3 Ⓒ) 5--4+7-3=1 0-2013) 5 (2+4) +7 (9-3)=0 a} 5 (x+4)= -7(9-3 5-710互いに素であるから。と44=7k.j-3=5k(kは整数) したがって①のすべての解はx=-nk-4-9=5k+3. CZA