この問題なのですが、解答の解き方だとk=3k+2が成り立つ→2^kを7で割った余りが4になる証明をしているように見えるのですが、違うのでしょうか？(もしあっているなら、なぜそれでも証明できるのか。間違っているのなら、どういう解釈をすれば良いのか。について教えて欲しいです！)

(qはkを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し, k=3q+2の場合 kを自然数とする。 2* を7で割った余りが4であるとき, んを3で割った余り、 指針> 2*=71+4 (1は自然数) とおいてもうまくいかない。ここでは, 重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用 2であることを示せ。 重要6 【類千葉大) kが 3q, 3q+1, 3q+2 13で割った余りが0, 1, 2 け 2*を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。 19えは,た=3q のときは, 2*=29=89であり. 89=(7+1)'として ニニ項定理 を利用する。 2* を7で割ったときの余りを求めることができる。 解答 43で割った余りは0か1分 2である。 をを3で割った商をqとすると, kは 3q, 3q+1, 3q+2 のいずれかで表される。 [1] k=3qのとき, q21であるから A イk=3, 6, 9, 2*=29=(2°)°=8°=(7+1)° =,Co79+,C.79-1+ +Cq-1'7+,Cq =7(Co+C79-2+ +Cae+1 イ二項定理 は整数で、 よって,2* を7で割った余りは1である。 [2] k=3q+1 のとき, q20であり q=0すなわちk=1のとき q21のとき 2*=29q+1_2-2°q=2-89=2(7+1)° 2*=7×(整数)+1 の形。 (R=1, 4, 7, イ二項定理を適用さ式の 「数は自然数でなはればなら たいから,q=0とq21で 分けて考える。(*) は [1] の式を利用して導いている 2*=2=7-0+2 =7-2(,Co7*-1+,C,7"-2+…+,Cq-i) +2 (*) よって, 2*を7で割った余りは2である。 [3] k=3q+2のとき, q20であり q=0すなわちk=2のとき q21のとき 2=29q+2=2°.299=4-89=4(7+1) Ak=2, 5, 8, 2*=22=4=7·0+4 0000 =7·4(,Co7°-1+,C,79-2+……+Cq-1)+4 0000e [1]の式を利用。 よって,2* を7で割った余りは4である。 [1]~[3] から, 2* を7で割った余りが4であるのは, k=3q+2のときだけである。 したがって, 2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。 別解 合同式の利用。 のまでは同じ。8-1=7·1 であるから [1] k=3q(q21)のとき [2] k=3q+1(q20) のとき q=0の場合 2*=2=7-0+2 g21の場合 [3] k=3q+2(q20)のとき q=0 の場合 2*=4=7-0+4 q21の場合 以上から, 2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。 合同式については, 改訂版チャート式基礎からの数学I +A p.492~参照。 8=1(mod 7) 2=29=89=19=1 (mod 7) 一 (自然数n に対し a=b(mod m)のとき a"=b"(mod m) 2=299+1=89-2=1°.2=2 2*=29q+2=89-2=1°.4=4 東習 正の整数nでn"+1が3で割り切れるものをすべて求めよ。 ト (類 一橋大) (p.21 EX5」 のが

この問題が分かりません💧どの問題でもいいので、解き方を教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

276 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 S (3) 21x+18y=0 *(1) 9x+7y=0 (2) 4x-5y=0 S 277 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 STS *(1) 4x+5y=1 (2) 13x+8y=7 *(3) 8x-7y=5 (4) 3x-5y=6 278 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 33x+14y=1 *(3) 61x-27y=8 *(2) 29x+42y=5 ESS (4) 147x+55y=6

1枚目の赤線を引いた部分の問題の解説を読んだのですが、2枚目の四角で囲った部分の計算式が何を解いているのか全く分かりません 解説お願いします

画258(1) nを整数とするとき, はkを整数として13k, 13k土1, 13k土5のいず bom) れかで表されることを示せ。 2を自然数とするとき,19+2·(-16)*-1は7で割り切れることを示せ。 4コ 404 日日 日 0F0

高1 数A の問題です 答えを見ても解き方がよく分かりませんでした わかる方教えていただきたいです。

6は整数とする。aを7で割ると2余り,bを7で割ると5余る。次 229 a, の数を7で割ったときの余りを求めよ。 (1) 3a+b *(2) a-26 (3) 4a+46 (4) ab (6) 2a°-36°

数Aの整数の性質についての質問です。 「等式2x+3y＝22を満たす自然数x、yの組を全て求めよ。」という問題を2を法とする合同式で解くことは可能でしょうか？可能ならば解法を教えてほしいです！

注意②の「3は何倍しても9を法として1と合同にはならない」のは何故ですか？ aとmが互いに素でないこととどんな関係があるのですか？

合同式の1次方程式 次の合同式を満たすxを, それぞれの法mにおいて, x=a (mod m) [aはmより小さい自然数] の形で表せ。 (1) 4x=3 (mod5) 用して、 例題 37 (2) 3x=6(mod9) 合同式の扱い ×3D0, 1, …, m-1 について, 表を用いて調べる。 (1) 下の表より, 4x=3 (mod5) となるのは, x=2 のときである。 3 x 0 1 2 4 4x|0 4 8=3 12=2 16=1 圏 x=2(mod5) 別解 [左辺のxの係数を1にすることを考える] 4x=3 (mod5)の両辺に4を掛けて 16x=1·x=x (mod5), 12=2 (mod5) であるから (2) 下の表より,3x=6 (mod9) となるのは, x=2, 5, 8 のときである。 16x=12(mod5) =2(mod5)啓 012 3 4 5 6 7 8 x 3x|0 3 6930 12=3 15=6 18=0 21=3 24=6 よって =2, 5, 8(mod9) 寄 注意 0 x=a (modm) または x=b (modm)を,「x=a, b (modm)」 と表す。 2 3は何倍しても9を法として1と合同にはならないから, (2)は(1) の別解の方法を使えない。また, 3x=6 (mod9) の両辺を3で割っ て, x=2 (mod9) としてはいけない。 参考 一般に,aとmが互いに素であるときに限り, ax=ay (modm) → x=y (modm) が成り立つ。 (証明)ax=ay (modm) → a(x-y)=mk (kは整数) aとmが互いに素であるから, x-yはmの倍数である。 よって x=y(mod m) S

答え合わせして下さい🙇‍♂️

K31 1 117 m, n は整数とする。次の命題を証明せよ。 (1) n?が5の倍数ならば, nは5の倍数である。 *(2) mn が3の倍数ならば, m, nの少なくとも一方は3の倍数である。 (11対価「ルが5の倍数でないならば,フレは5の倍数でないを証明する m が5の告数でないとき ルはある整数にを使って 5k+または7=5kt2またはれ=5k+3またはル=5k+4 と表される。 n []九:5k+|のとき れ= (5k+1) n= 25k+1ok+! ベー 2 5(5k-+2k)+1 []れ= 5k+2aEき ち5-+2k は整数であるからは ちの借数 でない。 (5k+2) 九 25k+20k+4 ペニ 5(5k +4E)+チ5ド+4kは整数であるかられは50体数でな [3] = 5kナ3のヒき

なぜ赤線の記述を書いているのかよく分かりません。 教えてほしいです🙇‍♀️

指針> n=k+1の場合に (k+1)°が現れるが, この展開には二項定理 (数学IⅡ)を利用する。 フェルマの小定理に関する証明 重要 例題139 OOOO0 救学的帰納法によって証明せよ。 【類茨城大) 基本136 カーk+1の場合に (k+1)”が現れるが, この展開には二項定理(数学I)を利用する。 (k+1)°=k°+C,ke-1+Cake-?+… .Cp-ポ+,Cp-ik+1 (k+1)°-(k+1)= Cike-1+Cake-2+ +Cp-k+,Cp-k+l°-k nーkのときの仮定より, kピーkはかで割り切れるから, ,Ci, Ca, , C-iすなわち よって C,(1Srsp-1) がpで割り切れる ことを示す。 解答 4合同式(チャート式基礎からの数学 A)を 利用してもよい(解答編 p.427 参照)。 「n°ーnはpの倍数である」 を①とする。 [1] n=1のとき 1°-130 よって,① は成り立つ。 のとおける。 [2] n=k のとき①が成り立つと仮定すると, k"ーk=pm (mは整数) n=k+1のときを考えると, ②から (R+1)°-(k+1)=k°+,Cik-1+CakP-2+… +Cp-sk?+,Cp-e+1ー(k+1) =CkP-1+,Ck-2+… +Cp-k+,Cp-k+pm p. 3 (カ-1)! r(rー1)! (カーア)! 2.n.Cr-1 p! ACr=(カーr)! %D D ア 1Srsp-1のとき pは素数であるから, rとかは互いに素であり, Crはpで割り切れる。 ゆえに,3から,(k+1)°ー(k+1) はpの倍数である。 したがって、n=k+1 のときにも①は成り立つ。 「1「21 から、すべての自然数nについて、 n°ーnはpの倍数である。 よって r. C,=DかCrー

答えでは-15(k-4)なのですが15(k+7)では答えは導き出せないのでしょうか？

練習 3で割ると2余り, 5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうちで, 1000 を超えない最 129 大のものを求めよ。 nはx, y, zを整数として,次のように表される。 n=3x+2, n=5y+1, n=11z+5 TEr 3x+2=5y+1から x=3, y=2 は,①の整数解の1つであるから 3(x-3)-5(y-2)=0 すなわち 3(x-3)=5(y-2) 3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-3=5k と表 される。よって 次に,3x+2=11z+5 にx=5k+3 を代入して 3(5k+3)+2=11z+5 ス=6, k=4 は,②の整数解の1つであるから 11(2-6)-15(k-4)=0 すなわち 11(z-6)=15(k-4) 11と 15 は互いに素であるから,1を整数として, zー6=15/と 3x-5y=-1 そ3-3-5-2=-1 x=5k+3(Rは整数) そこのとき y=3k+2 ゆえに 11z-15k=6 2 そ11-6-15-4=6 そk-4=11/ として k=11/+4を n=3x+2=3(5k+3)+2 表される。 よって ス=15/+6(Z は整数) に代入してもよい。 n=11(15/+6)+5=1657+71 n=11z+5 に代入して 1657+71<1000 すなわち 165/l<929 を満たす最大の整数1は, 1=5 である。このとき n=165-5+71=896

(2)の(イ)の問題の最初の部分は9≡4(mod5)であるから、と書いても平気ですか？💦 教えてくださると嬉しいです🙇‍♀️

(イ)「4=●(mod5)かつ ● が3の倍数」となるような数を見つけ, 性質5を適用する。 は m の倍数である、 (1) p.492 基本事項の合同式の性質 2, および次の性質5を証明せよ。ただし、 (2) 次の合同式を満たすxを, それぞれの法 m において, x=a(mod m) la t 加法·減法·乗法だけなら普通の数と同じように扱える 494 OO000 演習 合同で 演習 例題121 合同式の性質の証明と利用 は整数,m は自然数とする。 5aとm が互いに素のとき mより小さい自然数] の形で表せ(これを合同方程式を解くということ。 (ア) x+4=2(mod 6) (イ) 3x=4(mod 5) 指針に p.492 基本事項 指針> (1) 方針はか、493 の「証明と同様。 =■(mod m) のとき, 合同式 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk, c-d=ml (k,1は整数) と表され AAの倍数 ,=Ak (k は整数) a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(b+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-1) ゆえに a-c-(6-d)=m(k-1) 5 ax=ay (mod m) ならば, ax-ay=mk (kは整数)と表 され 価会 よって a-c=b-d(mod m) p, qが互いに素で a(x-y)=mk x-y=ml (1は整数) x=2-4(mod 6) aとm は互いに素であるから よって x=y(mod m) がqの倍数ならば、 k はqの倍数である。 (2)(ア) 与式から -2=4(mod 6)であるから (イ) 4=9 (mod 5) であるから,与式は 法5と3は互いに素であるから 9=4Chods) 4性質 2。移項の要領。 x=4(mod 6) 3x=9(mod 5) イ-2-4=-6 (6 の倍数) また,推移律を利用。 x=3(mod 5) (性質5を利用。 検討)合同方程式の問題は表を利用すると確実 (2) (イ)については, 次のような 表を利用 する解答も考えられる。 別解 (イ) x=0, 1, 2, 3, 4について, 3xの値は右の表 のようになる。3x=4(mod 5) となるのは, x=3のと きであるから x=3 (mod5) 注意 合同式の性質5が利用できるのは,「aとmが互いに素」であるときに限られる。 例えば,4x=4 (mod 6) - ①よりx=1 (mod 6) としたら 誤り! 表を利用 の方針で考えると, 右の表からわか るように x=1, 4(mod6) である。 [x=a(mod m)またはx=b(mod m) を「x=a, b(mod m)」と表す。] x 0 1 3 4 3x || 0 3 6=1 9=4 12=2 のについては, 4と法6は互いに素ではないから, 5 x 0 1 2 3 4 練習 (1) p.492 基本事項の合同式の世面 2@