Question

ぺけ男

答え合わせして下さい🙇‍♂️

K31
1 117 m, n は整数とする。次の命題を証明せよ。
(1) n?が5の倍数ならば, nは5の倍数である。
*(2) mn が3の倍数ならば, m, nの少なくとも一方は3の倍数である。
(11対価「ルが5の倍数でないならば,フレは5の倍数でないを証明する
m が5の告数でないとき ルはある整数にを使って
5k+または7=5kt2またはれ=5k+3またはル=5k+4 と表される。
n
[]九:5k+|のとき
れ= (5k+1)
n= 25k+1ok+!
ベー
2
5(5k-+2k)+1
[]れ= 5k+2aEき
ち5-+2k は整数であるからは ちの借数 でない。
(5k+2)
九 25k+20k+4
ペニ 5(5k +4E)+チ5ド+4kは整数であるかられは50体数でな
[3] = 5kナ3のヒき

5F+6k +1は整教であるからだは5の許でない
7= 515ド+8kt3)+1 5k48とやは離期であるからピはちの作頼でない
n= (5k+3)
= 25ド+30k+5+4
3D5(55+6k+1)+4 55+6k+1は堅枚であるから形はし
5k+4 のとき
[]れ
ピ=(5k+4)?
パン25k+4okで15+1
パ=515k+8kt3)+1 5k4やは壁離であるからピはちの作
CJ~ [4]ょり レは5の住教でない
よって対偶は真
ゆえにもとの 命興も重
12)対偶「mpnかどちらも3の倍数でないならば、 れては3の告教でない。
を証明する
M,2 かともに3の体数でないとき みしっフれはそれぞれある整数上、しを
使って
アM= 3k+1,70=3+1または=3k2,ル=38」ま下は旅ころく2,7レ=32+2
て表される。
ロコ M- 3k+,ル=3ル+1のとき
Mn 13kt0(3e+1)
1n:9k+3k+38 +1
フn n= 3kB+ktl)t1320tにt2は整数であるかられれはるの徴でな
[27ル= 3kt2 n=3ル+1のとき
m n-
こ
フ
n7-
ルル=
nn-33kltヒャ2+2来etkt2lは整尊であるからフリスはるの修験でない
[30 m= 3k+217=30+2のとき
れプレー(3と2)(34t2)
(3kt2)(36t1)
9ke+3kt6e+2
m n
9し+6k+6l+4
ルプ:3(3kし+2と+1)+1張見ィ2kな見ては整数であるからフれルは
3の倍数でない
1コ~[31よりmれは3の信数でない
よって対側は真。 ゆえにもとの命題も真

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

eratos2357

(1)は合っています。
(2)の証明で、m=3k+1,n=3l+2の場合が抜けています。
[2]と同様の証明になるので、まとめて表記すると良いでしょう。

また、「ゆえに」の直前に、対偶ともとの命題の真偽が一致することは述べるようにして下さい。

補足：余りに関する証明問題は合同式を用いると場合分けが少なくなります。

ぺけ男

ありがとうございます
合同式って何ですか？😅ごめんなさい

eratos2357

ある数aをある数bで割った余りkを表記する方法です。
例えば、10を3で割った余り1は、次のように表記できます。
10≡1(mod 3)
ここで、mod 3は「3を法として」という意味になります。

ぺけ男

習ったこと無かったので知らなかったです🙇‍♂️また使ってみます💪