Question

Keisuke Honda

例えば
y=√(1-x^2)の定義域は1≧x≧-1なので、定義域の端であるx=1と-1では微分はできませんよね？

画像1枚目の問題の解答の七行目に［0<x<2πにおいて、］とありますが、0≦x≦2πにおいて　としていないのは、x=0,2πにおいてf(x)は微分できないから除外されているのですか？
もしそうであるならば、本来、範囲が指定されていなければy=f(x)は全ての実数xで微分可能であるのに、今回は範囲を指定されているから、指定された範囲の端？では微分できないということになりますよね。
つまり、
画像の問題のように範囲が指定されているときは、指定された範囲を定義域として扱うということですか？

画像2枚目の（2）の解答では、[0≦x≦2π］としているのに、画像 1枚目の解答の七行目では［0<x<2πにおいて、］としていますが、この違いはなんですか？

基本(例題 108 関数のグラ
関数 y=4cosx+cos2x(-2x≦x≦2x) のグラフの概形をかけ。
基本 107 重要 109, 110
方
指針 関数のグラフをかく問題では,前ページの基本例題107同様 定義域, 増減と極値,
凹凸と変曲点, 座標軸との共有点, 漸近線などを調べる必要があるが,特に, 対称
性に注目すると、増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。
f(x)= f(x) が成り立つ (偶関数)⇔グラフは軸対称
f(x)=f(x) が成り立つ (奇関数)グラフは原点対称
( 数学II )
指
解答
この問題の関数は偶関数であり, y = 0, y'=0の解の数がやや多くなるから、
0≦x≦2の範囲で増減 凹凸を調べて表にまとめ,0≦x≦2πにおけるグラフをy軸
に関して対称に折り返したものを利用する。
y=f(x) とすると,f(x)=f(x) であるから, グラフはy cos(-
軸に関して対称である11
y'=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2・2sinxCOS X
==4sinx(cosx+1)
y=-4cosx-4cos2x=-4{cosx+ (2cosx-1)}
=−4(cosx+1)(2cosx−1)
0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 また
はcosx+1=0 から x=π
y" = 0 となるxの値は, cosx+1=0 または 2cosx-1=0
から
π
5
x=
π,
π
3
3
よって, 0≦x≦2 におけるyの増減, 凹凸は,次の表のよ
うになる。(*)
0-xxmil
=COS
2倍角の公式。
y=-4sinx-2sin2x
を微分。
(*)の式で,
COS x+1≧0 に注意。
sinx, 2cosx-1の符号
に注目。
解
π
0
...
π
3
:
-
y"
y
5
2
032
+
↑
0
+
+
0 +
-3
53 +
032
π
...
2π
15
+
13
-3-2
-
π
-27
0
5
ゆえに、グラフの対称性により、求めるグラフは右図。
5
3
125-3
3
2 X
参考
上の例題の関数について, y=f(x) とすると
よって, f(x) は 2 を周期とする周期関数である。
f(x+2)=f(x)は、(1)
-数学Ⅱ参照。
←
この周期性に注目し,増減や凹凸を調べる区間を0≦x≦2に絞っていく考え方でもよい。
練習 次の関数のグラフの概形をかけ。 ただし, (2) ではグラフの凹凸は調べなくてよい。
108
(1) v=ex²-1

基本 例題 112 関数の極値 (2) 第2次関数の利用
第2次導関数を利用して、 次の関数の極値を求めよ。
(1) f(x)=x^-4x+4x2 +1
(2)f(x)=2sinx-√3x (0≦x≦2)
p.177 基本事項 3 演習 121
指針第2次導関数を利用した極値の判定法 (次の定理を使う。)
x=α を含むある区間でf" (x) が連続であるとき
1 f'(a)=0 かつf" (a) <0⇒f (a) は極大値
2 f'(a)=0 かつf" (α)>0⇒f(α) は極小値
(p.177 基本事項3)
まず f(x) =0を満たすxの値を求め,そのxの値に対するf" (x) の符号を調べる。
CHART 関数の極値 f(x) = 0 の解を求め, f(x) の符号を調べる
(1) f'(x)=4x-12x2+8x=4x(x-1)(x-2)
f"(x)=12x2-24x+8=4(3x²-6x+2)
解答
f'(x) =0 とすると
x=0, 1, 2
f" (0)=8>0,f"(1)=-4<0,f" (2)=8> 0 であるから,
f(x)は x=0で極小値 1,
x=1で極大値 2.
x=2で極小値1 をとる。
(2) f'(x)=2cosx-√3,f" (x)=-2sinx
(1)
数である。
(1) f(x)
f(x)は連続関
極大
極小
「極小
0 1 2 x
f'(x)
1
1
f'(x)=0 とすると
√3
COS x =
2
0≦x≦2であるから
π
11
x=
6' 6
(4)
曲
π .4-t
(4)=-1<0. (1/2)=1>0であるから,
f"(x)
f(x) は
π で極大値 1-
x=
√√3
π,
6
11
x= Tで極小値 -1-
11/3
6
πをとる。
201
O
+
+
12
③

数学ⅲ 微分方の応用

Answer 1

和

言う通りで、1枚目は端点で微分できないから0<x<2πとしています

2枚目の「0≦x≦2πであるから」のところでは微分をしていないので、
端点を抜く必要がありません
あくまでcosx=√3 /2の解を求める文脈なので、
0≦x≦2πで問題ありません